sexta-feira, 28 de agosto de 2009

O Segredo Oculto dos Números Complexos

 

Você sabe qual é a raíz quadrada de -4? Essa aqui, mostrada abaixo?



Ora, quando perguntados qual a raíz quadrada de 4, todos responderiam que seria 2, porque 2 X 2 = 4. Mas o que acontece quando temos uma negativa, como a descrita acima? Veja:






Estranho, quando -2 é multiplicado por ele mesmo duas vezes, fazendo o jogo de sinais, ele fica positivo, diferenciando de -4, que seria o número que deveria dar.


É comum na 9º (nona) série do ensino fundamental (antiga 8º série) alunos se depararem com raízes de números negativos quando estão vendo equações de segundo grau. Geralmente quando chegam nessa parte, alguns professores evitam de se aprofundar no tema e simplesmente dizem a os alunos que não existe raíz de número negativo, e mais comum ainda dizerem apenas raíz, colocando até as raízes cúbicas em demais ímpares, o que é um erro crasso! 


Então, como calcular uma raíz negativa dessas?  Bom, primeiramente, antes de responder, é preciso conhecer alguns fatos importantes, pois este é um segredo oculto do Conjuntos dos Números Complexos, assunto abordado apenas no terceiro ano do ensino médio.



BEM VINDO A OS NÚMEROS COMPLEXOS


Ignorado por muitos séculos como sendo parte banal de alguns cálculos que exigiam raízes negativas, os matemáticos nem se quer perdiam tempo em analisar os famosos complexos, sutilmente apelidados de números fantasmas justamente por não fazerem "sentido". Somente mais tarde, com a pequena menção, mas sem explicações de um artigo publicado pelo matemático Cardano, é que apareceu os temidos e evitados  complexos. Contudo apenas com Raphael Bombelli, outro notável matemático é que não só teve a mesma coragem demonstrada por Cardano, mas também os explicitou introdutoriamente.


Para se ter uma idéia do que estamos falando, há relatos dos cujos números desde a Arithmetica de Diophanto a aproximadamente no ano de 275 D.C, no começo do primeiro milênio que mesmo assim também evitou de falar no assunto, ficando os Números Complexos à mercê da ignorância de tantos séculos e homens que negaram-se a ouvir os gritos de umas das mais importantes classes de números da humanidade. Mais tarde, num estudo das equações de terceiro grau é que praticamente a humanidade viu-se obrigada a admitir os complexos, finalmente reconhecidos. Agora podemos conhecer também esses temíveis números e saber por qual motivo os escondiam bastante.



O QUE É UM NÚMERO COMPLEXO?

Um número complexo é basicamente um conjunto, um corpo maior dos números, maior até mesmo que os conjunto dos números Reais, que praticamente abriga quase a totalidade dos mesmos.Segundo Gelson Iezzy, "chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação" (IEZZY, Gelson, pág. 2, 1998).

"Encara-se assim R como um subconjunto de C", afirma Lipschutz o que é confirmado pelas operações envolvidas nos processos de cálculos algébricos efetuados com esses números. Basicamente escrevemos um complexo algebricamente como Z = a + bi, ou por par ordenado como Z = (a, b) onde a é a parte real e b, a parte imaginária e Z o número complexo.

É perceptível que que a afirmativa de Lipschutz é verdadeira quando o valor de b é zero, pois fica somente a parte real, como o são a maior parte dos números com vemos.
Seja a = 2 e b = 0. Como escrevemos esse número, que é real, em complexo?




Ora,
Z = a + bi, então:
Z = 2 + 0.i
Z = 2


Quando isso ocorre dizemos que o dado número é um Real puro. Mas o que acontece quando b = 0?


Seja a = 0 e b =2


O processo é análago a o anterior
Z = a + bi
Z =  0 + 2i
Z = 2i




Agora dizemos que Z é um imaginário puro.


Quando há os dois valores, com a diferente de b e ambos diferentes de 0, o complexo está completo, assim:


Z = 2 + 2i, 


Que pode até ser a solução daquele probleminha de equação quadrática de delta negativo!







RESOLVENDO RAÍZ DE NÚMERO NEGATIVO 

A o longo dos séculos era impossível resolver esse tipo de equação:

x² + 2x + 2 = 0, porque o valor de delta é menor que 0.


Adequando os valores dos coeficientes e resolvendo a equação, temos:

 
Entretanto, com o advento dos complexos, permitiu-se, assim, que se prosseguisse a operação. Repare bem que - 4 é o mesmo que escrever - 4 = (- 1).4 . Como 4 tem raíz e é 2, extrai-se esse número e - 1 que "não tem" fica dentro da raíz. Convencionou-se chamar essa raíz de - 1 de i, e se colocarmos ele ao quadrado daria justamente um númewro real, donde:



Gerou-se duas raízes Complexas. O curioso é que não foi por causa das equações quadráticas que se empenharam em descobrir os complexos não, mas sim com as equações de terceiro grau!




OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

Como qualquer número podemos somar, subtrair, multiplicar e até dividir números Complexos. 



* Adição
Propriedade:
Seja Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d). Z1 + Z2, fica:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), formando um par.


Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 = 7 + i. Determine Z1+ Z2.
duas formas de se calcular e uma delas é pelo seu par ordenado. Como vemos, um par ordenado se dá através da separação em parte real e imaginária. Z1 = (3, 4) e Z2 = (7, 1). Somando, fica:

Z1 + Z2 = (3 ,4) + (7, 1) = (3 + 7, 4 + 1) => (10, 5) completando o par ordenado. Também poderíamos fazer direto:
Z1 + Z2 = 3 + 7 + 4i + i => 10 + 5i



* Subtração 
Propriedade:
Seja Z1 = (a, b) e Z2 => (c, d). Z1 - Z2, fica:
(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d), formando um par.
Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 => 7 + i. Determine Z1- Z2.

Fica:

Z1- Z2 = (3 - 7, 4 - 1) => (- 4, 3) ou
Z1- Z2 = 3 - 7 + 4i - i => - 4 + 3i


* Multiplicação
Propriedade:
Seja Z1 = (a, b) e Z2 => (c, d). Z1. Z2, fica:
(a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc), formando um par.
Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 => 7 + i. Determine Z1. Z2.




Fica:

Z1.Z2 = (3.7- 4i.i, 3i + 4i.7) => (21 -(- 4i²), 3i + 28i), como i² = - 1, obtemos:
 Z1.Z2 = (21 + 4, 31i) => (21-4, 31i), que resulta em:
Z1. Z2 = (17,  31i)

Essa forma que acabamos de explicitar é a forma ordenada. Também é possível encontrar o mesmo valor multiplicando pela forma algébrica, assim: 

Z1.Z2 = (3 + 4i).(7 + i)  
Z1.Z2 = 21 + 3i + 28i  + 4i²
Z1.Z2 =  21 - 4 + 31i
Z1.Z2 =  17 + 31i


* Divisão
Propriedades:
Seja Z = a + bi, há um conjugado de mesmo módulo mas de sinal de bi diferente. A esse chamamos de conjugado e se escreve assim:   Z = a - bi. O conjugado serve principalmente para se efetuar e simplificar alguns números complexos.

Seja Z = 2 + i/3 + i. Determine os valores de a e b do complexo dado.

 Ora é visível que não dá para saber quem é a ou b porque eles estão misturados no numerador e denominador. Antes, porém, é preciso que se separe ele da maneira usual Z = a + bi, mas para fazer isso é preciso dividir, e para dividir é necessário multiplicá-lo pelo conjugado do número de baixo, assim:


Z = (2 + 3i)(3 - i)/(3 + i)(3-i). 
Efetuando a multiplicação, obtemos:
Z = 9 + 7i/10, portanto:
a = 9/7 e
b = 7i/10


Apelidado de Números Fantasmas durante muito tempo, os então hoje conhecidos Conjunto dos Números Complexos conheceram bem o peso do preconceito intelectual.



Forma Polar
 
Muitas vezes não podemos expressar determinados complexos por sua forma algébrica Z = a + bi. Ocorre em inúmeros casos onde Z assume valores com altos expoentes, ou porque é melhor para se aplicar em certas operações matemáticas, sendo mais fáceis de se lidar e manusear.


Podemos determinar como forma polar se ela pode ser escrita na forma Z = p(cosx + isenx), onde p (lê-se rô). p = √a² + b²

Obtemos-no-la através da seguinte demonstração:

sábado, 22 de agosto de 2009

Algumas Questões do Enem 2008


Bem, aqui se dará início a uma série de resoluções de algumas das mais interessantes questões de matemática do Exame Nacional do Ensino Médio de 2008, o Enem.

Nesse Enem há diversas questões que direta ou indiretamente, envolvem matemática, mas aqui será postado apenas as mais interessantes ou trabalhosas de resolução. Quem desejar ver outros tipos, seja do ano passado, ou de anos anteriores, basta deixar abaixo um comentário, especificar o ano e cor da prova e o quesito do Enem que deseja. Pode também mandar questões de vestibulares.

Bom, vamos lá!

Começando pela questão 21 da prova amarela. A escolha da prova de cor amarela se dá devido ser esta a cor oficial de correção.

Questão21

O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.




Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a:

A 4 cm2. B 8 cm2. C 12 cm2. D 14 cm2. E 16 cm2.


RESOLUÇÃO:


Repare que a medida do lado AB da figura 2 mede exatamente 2cm e que todas as figuras, (1, 2 e 3) possuem as sete figuras geométricas que formam o tangran. Claro que a figura 1 é a mais fácil de se calcular uma área, pois esta é um quadrado perfeito, mas antes, é preciso saber sua medida de lado. Repare na figura a seguir que o quadrado e o triângulo que unidos resultam em 2cm estão marcados de vermelho, que é justamente metade do quadrado (figura 1).


Chamando de "l" as medidas do quadrado, que não sabemos ainda, e de 4 a diagonal total (existem duas partes iguais a 2), pelo Teorema de Pitágoras fica:

a² = b² + c²

4² + l² + l²
16 = 2l²
2l² = 16
l² = 16/2

l² = 8

Ora, como a medida da área de um quadrado é o quadrado de seu lado, A = l²
temos que:

A = 8
Respota B

QUESTÃO 16

O sistema de fusos horários foi proposto na Conferência Internacional do Meridiano, realizada em
Washington, em 1884. Cada fuso corresponde a uma faixa de 15º entre dois meridianos. O eridiano de Greenwich foi escolhido para ser a linha mediana do fuso zero.

Passando-se um meridiano pela linha mediana de cada fuso, enumeram-se 12 fusos para leste e 12 fusos para oeste do fuso zero, obtendo-se, assim, os 24 fusos e o sistema de zonas de horas. Para cada fuso a leste do fuso zero, soma-se 1 hora, e, para cada fuso a oeste do fuso zero, subtrai-se 1 hora. A partir da Lei n.° 11.662/2008, o Brasil, que fica a oeste de Greenwich e tinha quatro fusos, passa a ter somente 3 fusos horários.
Em relação ao fuso zero, o Brasil abrange os fusos 2, 3 e 4. Por exemplo, Fernando de Noronha está no fuso 2, o estado do Amapá está no fuso 3 e o Acre, no fuso 4.
A cidade de Pequim, que sediou os XXIX Jogos Olímpicos de Verão, fica a leste de Greenwich, no fuso 8.

Considerando-se que a cerimônia de abertura dos jogos tenha ocorrido às 20 h 8 min, no horário de Pequim, do dia 8 de agosto de 2008, a que horas os brasileiros que moram no estado do Amapá devem ter ligado seus televisores para assistir ao início da cerimônia de abertura?


A) 9 h 8 min, do dia 8 de agosto.
B) 12 h 8 min, do dia 8 de agosto.
C) 15 h 8 min, do dia 8 de agosto.
D) 1 h 8 min, do dia 9 de agosto.
E) 4 h 8 min, do dia 9 de agosto.


RESOLUÇÃO

Essa é a típica questão que exige bastante atenção e uma boa leitura e também ,por isso ,carrega uma pequena casca de banana nela.
Considerando que Greenwich é o marco zero, e que todo meridiano contado à direita soma-se 1 hora, e que todo meridiano contado à esquerda subtrai-se 1 hora, e que Pequim está a 8 fusos á direita (leste em relação a Greenwich), e que o Amapá está a 3 fusos à esquerda de Greenwich (à oeste), fazemos:

8 + 3 = 11, o que corresponde a 11 horas, que não é o suficiente para dar mais de um dia.
Como os jogos começariam às 20h e 8 min do dia 8 de agosto de 2008, e que seu local de realização está à direita do Amapá, contanto de Pequim até o Brasil, isto é, para oeste, subtrair-se-ia os valores, assim:


20h e 8 min - 11h = 9h e 8 min do dia 8 de agosto de 2008.

ALTERNATIVA A



QUESTÃO 33

A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.





Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então

A M(x) = 500 + 0,4x.
B M(x) = 500 + 10x.
C M(x) = 510 + 0,4x.
D M(x) = 510 + 40x.
E M(x) = 500 + 10,4x.

RESOLUÇÃO

Essa é a típica questão de função do primeiro grau tipo y = ax + b

Sabemos, pela figura do boleto bancário, que há um valor constante, que não se altera se houver um atraso, que é de R$ 500,00 + multa de R$ 10,00, o que nos dá um total de R$ 510,00 constante, que tem de pagar de qualquer forma. Como ainda há 40 centavos de multa por atraso por dia, fica:

y = 510 + 0,4x

ALTERNATIVA C

QUESTÃO 56

A figura abaixo mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de água.






Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação,


A) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3.
B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60 cm.
C) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 litros.
D) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 1 m3 de água para o consumidor fosse igual a R$ 2,50.
E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas.

RESOLUÇÃO

Se o reservatório pode abastecer 900 residências com um consumo médio de 500m³ por dia, basta fazer 900X500, para obter o seu volume de água total.

V = 900X500 = 450.000l,


Sabemos que:

1M³ ----------- 1000l
Então V = 450.000l = 450 m³

V = 450m³


Ora, 10% de 450m³ corresponde a 45m³, que é valor economizado, descartando a alternativa "A".

Na alternativa "B" fala na altura que ficaria o nível da água economizada no reservatório. Pois bem:

O volume de um cilindro é dado por:
V = pir²h,

Donde,
pi = 3,14...
r = raio
h = altura

Ora, não sabemos de quanto é o raio, mas conhecemos a altura e o volume. Então façamos:

V = pir².6
450 = 6pir²
pir² = 450/6
pir² = 75

Agora é só pegar o volume economizado e ver o quanto de altura ficou, assim

Vecon = 45m³

V = pir²h
45 = 75.h
h = 45/75
h = 0,6m

Convertendo 0,6m para cm, fica:

60 cm - alternativa B está correta, como só pode haver uma alternativa

ALTERNATIVA B






QUESTÃO 54


Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:

1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);

2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;

3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;

4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).



De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da seqüência apresentada acima é



RESOLUÇÃO:

Bem, temos aqui uma questão de puro raciocínio lógico num que é um dos ramos mais novos e fascinantes da matemática, os fractais.
É fácil visualizar que os triângulos de repetem sempre da mesma forma, mas com tamanhos variados. A primeira observação que tem de ser feita é a cor dos pequenos triângulos, e sua posição, pois a cor do original é branca e está para baixo, então os outros também devem ser brancos e estarem para baixo. A segunda observação é qual a posição das séries dos triângulo sque a questão deseja, pois a alternativa "a" também segue o mesmo padrão, mas não é quarta figura, e sim uma quinta. Agora mediante todas essas observações fica fácil ver que a alternativa correta seria a letra C, pois segue as observações citadas e é a próxima figura.


sexta-feira, 21 de agosto de 2009

A Matemática dos Zumbis

Essa é digna de treva mesmo. Pesquisadores desocupados da Universidades de Carleton e Ottawa, no Canadá, resolveram um importante estudo sobre quem sobreviveria na terra se um holocausto de zumbis tomasse a sociedade. Basicamente, afirma o estudo, os seres humanos não teriam a mínima chance, por que enquanto apenas poucos zumbis realmente chegariam à morte por meio nada convencionais, haveria sempre um alta taxa de humanos vivos que serviriam sempre de ricos e abundantes alimentos, enquanto que os campos e as colheitas humanas se reduziriam a zero.



A taxa de infecção zumbi seria exponencial enquanto que as dos seres humanos apenas fadada a conversão zumbi, pois a maior parte dos vivos seriam infectados, diminuindo vertiginosamente para aritmética a taxa de crescimento populacional humano!


É, os pesquisadores só esqueceram de que para uma análise assim deveriam estar de posse de conhecimentos biológicos a anatômicos dos seres humanos, uma vez que não colocaram nos seus índices as probabilidades de sobrevivência desses seres com a sua carne podre e sem manutenção do organismo. Mais um estudo idiota, de uns "sem o que fazer" dos países ditos desenvolvidos.

Matemática: "A Arte das Trevas"














Nota do Autor:


Tudo começou quando há um certo tempo um amigo de faculdade chegou em sala de aula totalmente maravilhado com um pequeno comentário de um de seus alunos. Ele foi surpreendido pelo pequeno com uma pequena e desconcertante pergunta: "Ei, você que é o Professor das Artes das Trevas?"

Bem pode ser que a maioria das pessoas não chegue a tanto como o garoto, mas certamente também compartilham com ele o mesmo espírito desbravador dessa que é realmente uma ciência oculta e perigosa e que ensina a os homens a pensarem por si , construirem um futuro melhor e a tornar mais gratificante e facilitadora a vida.

Aqui serão tratados assuntos referentes à matemática, ao seu dia-a-adia, leitor, ao seu cotidiano, inter-nauta, à sua sede de descoberta, curioso, à todos aqueles amantes da Ciência das "Artes das Trevas". Não tenham medo do nome, é parte do homosapiens temer do desconhecido e apenas caminhamos em direção ao entendimento da matemática e a uma nova visão de mundo.

À todos sejam Bem Vindos!


Abaixo Vídeo mostrando como seria um objeto na quarta dimensão. Muitos acreditam que seja a quarta dimensão o abrigo das entidades espirituais. Especulações há muitas, mas provas só estas mesmos apresentada pela Rainha das Ciências!



Enem 2009 e a Matemática


Instituições de Ensino Superior, Públicas e Privadas, podem utilizar o novo Enem, que será aplicado em outubro deste ano, como parte de seu processo de seleção ou aderir ao Sistema de Seleção Unificada, onde o exame é utilizado como fase única.

A intenção desta proposta do Ministério da Educação é oferecer um sistema de avaliação que valorize a capacidade de raciocínio lógico e de análise crítica dos estudantes, ao invés de provas que exigem “decoreba” e memorização dos conteúdos do Ensino Médio.

O novo Enem 2009 será composto por quatro grupos de testes de múltipla escolha e será realizado em dois dias. As provas serão disribuídas nas seguintes áreas: linguagens, códigos e suas tecnologias (incluindo redação); ciências humanas e suas tecnologias; ciências da natureza e suas tecnologias, e matemática e suas tecnologias.

As instituições que aderirem aos Sistema Unificado, podem atribuir pesos diferentes, às provas, de acordo com o curso pretendido.

O candidato poderá escolher entre 5 opções de cursos e Instituições de Ensino e poderá simular a sua nota no curso pretendido, de acordo com a nota do novo Enem, comparando com a nota de seus concorrentes, podendo alterar a sua escolha quando fizer a inscrição.

As instituições que quiserem realizar mais de uma fase em seu processo seletivo, poderão usar as notas do Enem como parte da seleção, com base em seu Edital.

As provas do novo Enem 2009 deverão ser aplicadas nos dias 3 e 4 de outubro de 2009.

A má notícia é para quem não Gosta de matemática. A disciplina foi escolhida para integrar, sozinha, uma das quatro áreas que foi dividida a prova, ou seja, 25% da prova será sim de matemática, a "Arte das Trevas". Das 150 questões propostas no Enem, cerca de 45 serão da tão temida matéria. Bom, como se o pior ainda não viesse a por vir, as provas de matemática do Enem exigem bastante raciocínio lógico e possuem textos nada pequeninos para que também não gosta de ler. Então, vamos estudar moçada, quem "cedo madruga Deus ajuda!"

Entendendo o Teorema de Pitágoras


Reza a história grega de que Pitágoras, na verdade não era um homem comum, mas um deus que teria descido a Terra para ajudar os homens e facilitar sua vida. Quem conhece um pouco de matemática e áreas afins entende que o teorema a ele atribuído é um dos mais lindos e importantes dentro da matemática e é dele que se originaram praticamente toda a trigonometria.




•Seja, pois um triângulo retângulo qualquer de hipotenusa a, e catetos ou lados b e c, como descrito na figura 1



Figura 1


Traçando-se um quadrado de comprimento igual ao de cada lado do triângulo, e dividindo o quadrado do lado c em quatro trapézios iguais, aos quais dois deles, trapézio 1 e trapézio 2, têm lados que se somados resultarão no tamanho da hipotenusa, e se, junto com o quadrado 5, arranjados de modo a uni-los, encaixarão perfeito no quadrado do lado a (hipotenusa). Assim, unidos e somados resultarão no famoso Teorema de Pitágoras, como pode ser visto na figura Figura 2:


Figura 2

Pode-se notar que as figuras formadas nos quadrados de lados b e c cabem perfeitamente no quadrado de lado "a", que é a hipotenusa. É justamente igual à soma dos quadrados dos catetos - O famoso Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

Matemática: Arte das Trevas?

Tudo começou quando há um certo tempo um amigo de faculdade chegou em sala de aula totalmente maravilhado com um pequeno comentário de um de seus alunos. Ele foi surpreendido pelo pequeno com uma pequena e desconcertante pergunta: "Ei, você que é o Professor das Artes das Trevas?"

Bem pode ser que a maioria das pessoas não chegue a tanto como o garoto, mas certamente também compartilham com ele o mesmo espírito desbravador dessa que é realmente uma ciência oculta e perigosa e que ensina a os homens a pensarem por si , construirem um futuro melhor e a tornar mais gratificante e facilitadora a vida.

Aqui serão tratados assuntos referentes à matemática, ao seu dia-a-adia, leitor, ao seu cotidiano, inter-nauta, à sua sede de descoberta, curioso, à todos aqueles amantes da Ciência das "Artes das Trevas". Não tenham medo do nome, é parte do homosapiens temer do desconhecido e apenas caminhamos em direção ao entendimento da matemática e a uma nova visão de mundo.

À todos sejam Bem Vindos!

A Evolução das Perguntas

A Evolução das Perguntas
Homem aprendendo a fazer fogo e a contar