MATRIZES

MATRIZES

Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes, linha essa apenas modificada com o surgimento de Joseph Sylvester, primeiro a dar um nome ao novo ramo da matemática, mas coube a Cayley, amigo de Sylvester, não somente a prova, mas também a demonstração das utilidades das Matrizes em sua obra Memoir on the Theory of Matrizes em1858. 

  Com um estudo recente de apenas cerca de 150 anos as Matrizes ganharam tamanha importância que não se consegue conceber, hoje, a idéia computadores, engenharia civil, elétrica, mecânica, meteorologia, oceanografia entre outras inúmeras áreas sem o estudo delas. Na verdade seu estudo sistemático começou realmente com Cayley, mas antes dele já havia prósperas pesquisas no assunto, principalmente quando Lagrange utilizou Matrizes no estudo de máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis.

Nas escolas ainda se usam o estudo de Matrizes e Determinantes, não obstante esse estudo ainda está longe do ideal, que seria ver na prática as suas aplicações. Em parte o erro se deve a má preparação dos docentes, falta de subsídios na escola, investimentos em linhas de pesquisas Júnior e à carência peculiar de matemática. É fato e relevante também observar que muitos profissionais tentam, da melhor maneira possível os permitida, não apenas repassar o conhecimento, mas como também fazê-lo de uma maneira produtiva incentivando, assim, a novas produções e descobertas.

Aqui está apresentado, de maneira suscita as principais propriedades e regras matriciais de maneira lógica e objetiva com não raro rigor matemático. Além disso, há exemplos de cada uma de suas formalidades e subtítulos bem como, ao final, aplicações cotidianas do seu estudo.

DEFINIÇÃO

Uma matriz é um conjunto de linhas e colunas de elementos numéricos organizadas num retângulo e que possuem certas propriedades matemáticas bem definidas. Em outras palavras, é uma tabela de informações codificadas em números.

Seja a matriz dada abaixo

 

Os elementos matriciais de A podem ser generalizados como A_mxn = (a_ij), onde m e n é a ordem da matriz entre linhas e colunas respectivamente, i o número de linhas e j o número de colunas dos elementos dentro da matriz. Assim se quisermos o elemento da 5ª linha e 6º coluna, o escrevemos assim:

A_mxn = (a₅₆)

As matrizes são representadas matematicamente através de parênteses, como em (I), ou através de colchetes. Elas podem ser somadas, subtraídas e multiplicas, possuindo, assim, algumas propriedades. Se forem quadradas possuem duas diagonais, a Diagonal Principal, que parte da esquerda para direita e compreende os elementos do centro, e a Diagonal Secundária, que parte da direita para a esquerda e compreende os elementos do centro no sentido contrário, como a seguir:

SOMA DE MATRIZES

Duas ou mais Matrizes são somadas se, e somente se, suas ordens forem iguais, isto é, A_mxn + B_mxn.

Seja a soma das seguintes Matrizes A e B de ordem 2x3 abaixo:

 

Efetuamos o cálculo obtendo a Matriz C, soma entre os respectivos valores dos elementos de mesma linha e coluna de A e B, assim:

 

Exemplo 1. Encontre a matriz C soma das matrizes A e B abaixo:

 

Resolução

A + B = C 

Exemplo 2. Por absurdo tentemos somar a matriz A_3x2 com a matriz B_2x3, que segundo uma das propriedades da adição não é permitida, já que o número de elementos i e j das matrizes não são iguais. Temos:

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Por processo análogo ao anterior, obtemos a solução.

Exemplo 1. Encontre a matriz C diferença das matrizes A e B abaixo:

 

Resolução

A - B = C

A partir desse ponto podemos encontrar um tipo de matriz chamada de Matriz Oposta, o que nada mais é do que a troca dos sinais da Matriz B quando essa é negativa, isto é, um pequeno jogo de sinais, assim:

IGUALDADE ENTRE MATRIZES

Por processo semelhante também podemos igualar matrizes. Pegando o mesmo exemplo anterior, suponhamos que saibamos quem é a matriz A e C, mas não a matriz B. Podemos encontrar B da seguinte forma:

A - B = C

Como não sabemos quem é B, fazemos:

  Do mesmo modo como somamos e subtraímos, agora igualamos, sempre obedecendo às respectivas linhas e colunas dos elementos matriciais de A e B. Temos:

  Encontramos os elementos de B, e como esperado realmente obtivemos uma matriz B_2x2

 MATRIZ TRANSPOSTA

 Seja a matriz 

Dizemos que ela pode ser Transposta se seus elementos de linhas e colunas podem se deslocar para colunas e linhas respectivamente e representamos esse tipo de matriz por A^t, assim:

 

Notamos que a ordem também foi invertida sendo  

 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

 Uma matriz 

Só pode ser multiplicada por uma matriz B, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, ou o número de elementos da coluna de A for igual ao número de elementos da linha de B, isto é, se A_mxn e B_nxp, cujo produto será C_mxp.

Sejam as matizes do exemplo 2 da SOMA DE MATRIZES descrita anteriormente

O produto A.B gerará uma matriz C_3x3. Vejamos:

 Multiplicamos os elementos de mesma ordem da linha da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B e os somamos, assim:

 Podemos também igualar produtos entre matrizes, desde que obedecidas as propriedades iniciais dadas.

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR K

A mesma Matriz  pode ser multiplicada por um valor k qualquer, com k Є R . Seja a matriz A abaixo multiplicada por k, assim temos:

 Exemplo 1. Encontra a Matriz 2A abaixo:

PROPRIEDADES BÁSICAS DAS MATRIZES POR ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

(i)                 (A + B) + C = A + (B + C)

(ii)               A + 0 = A

(iii)             A + (-A) = 0

(iv)             A + B = B + A

(v)               k(A + B) = kA + Kb

(vi)             (k + s)A = kA + as

(vii)           1.A = A

(viii)         (ks)A = k(sA)

(ix)             0.A = 0

MATRIZ IDENTIDADE

Uma matriz é dita identidade, e representamos por I_n, se é quadrada e os elementos de sua Diagonal Principal são todos iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero como no exemplo a seguir:

 

Como a matriz é quadrada escrevemos apenas a notação I_n;

Exemplo 1. Achar a matriz Identidade I_3.

MATRIZ NULA

Dizemos que uma Matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero

 

MATRIZ INVERSA

Dizemos que uma Matriz A é inversa se existe outra Matriz B cujo produto é a Matriz Identidade, onde B = A^-1, assim:

A.B^-1 = I_n

A.A^-1 = I_n

MATRIZES QUADRADAS

Algumas Matrizes Quadradas importantes

MATRIZ DIAGONAL

Uma Matriz é dita diagonal se os elementos não-diagonais são todos iguais a zero, isto é;

 A matriz Identidade é um exemplo de Matriz Diagonal.

 MATRIZ TRIANGLAR

Uma Matriz é dita triangular se os elementos fora as Diagonal Principal são iguais a zero, podendo ser triangulares superiores, se os ditos elementos estiverem abaixo, ou inferiores, se os elementos estiverem acima. Veja:

 

MATRIZ FAIXA

Chama-se Matriz Faixa aquela que possui todos os elementos da vizinhança da Diagonal Principal iguais a zero, assim:

 MATRIZ SIMÉTRICA

Uma Matriz se diz simétrica se A^T = A, com A sendo quadrada. Da mesma forma dizemos que uma Matriz A é anti-simétrica se A^T = - A

Exemplo 1. Verifique se A é simétrica de B.

 

Sim a Matriz A é simétrica da Matriz B, pois as linhas de A formam as colunas de B, sendo, portanto, sua Transposta, A = A^T

Exemplo 2. Verifique se A é anti-simétrica de B.

Como no exemplo anterior, com B = - A, temos:

 

MATRIZES ORTOGONAIS

Uma matriz é ortogonal se, e somente se, for quadrada e invertível tipo A^-1 = A^T em que AA^T = A^TA = I. 

 

MATRIZES COMPLEXAS

Uma Matriz é dita Complexa se seus elementos são números complexos, tipo  

Este é um exemplo de Matriz Complexa.

Dentro das Matrizes Complexas temos:

*·      * As Hermitianas: Se A^H = A

*     *Anti-hermitianas: Se A^H = - A

         * Unitárias: Se A^H = A^-1 e suas linhas (colunas) formam um conjunto ortogonal de vetores ao produto interno de vetores complexos.

·         * Normais:  Uma Matriz quadrada é Normal se AA^H = A^HA

  

APLICAÇÕES DAS MATRIZES

Certamente o ramo mais prodigioso do campo das Matrizes é o computacional em que o uso de vetores e operações matriciais é indispensável, seja na elaboração e desenvolvimento de softwares às imagens geradas de filmes e fotos. Cada filme ou foto carrega uma quantidade incrível de pixels, que são calculadas por matrizes e que, por sua vez, são mais bem transportadas por matrizes linhas ou colunas (vetores). Para a obtenção de rotações em computação gráfica, às grandezas geradas por escalares e tensores na mecânica, nos circuitos elétricos e suas fiações e linhas bem como na distribuição de energia elétrica, nas comunicações, redes de transportes e etc. Não obstante elas também têm aplicabilidade na vida pratica, não sendo necessariamente apenas nas ciências aplicadas.

No artigo de Cristiani dos Santos Campos, (SANTOS, 2008, p.19-20), uma professora de Jandaia do Sul, Paraná, ela faz um comparativo entre os gastos calóricos com a alimentação intermediada por exercícios físicos. Baseando os dados numa pessoa de 60 kg de peso corporal em atividades físicas de tempo de 1 hora, montou uma tabela, como a que se segue:

 

Durante uma semana em acompanhamento de uma hora, teríamos

Das duas Matrizes é possível construir uma associação de Matrizes e determinar a quantidade de calorias gasta por dia por essa pessoa, assim:

Daí é possível concluir que seguindo a dieta de alimentação e exercícios físicos, na segunda – feira a pessoa gastará 552 calorias, na terça-feira, 890 calorias, na quarta-feira 1016 calorias, na quinta-feira 895 calorias e na sexta-feira 678 calorias.

Nesse mesmo estudo a Professora não só mostra as aplicações matriciais no cotidiano, mas como também insere a interdisciplinaridade uma vez que tal estudo foi embasado nos casos de diabetes.

Uma fácil aplicabilidade das Matrizes consiste no estudo das Equações Lineares. Considere um jornal de grande circulação nas cidades do interior nordestino do país. Dessas, tiremos cinco: Petrolina, Juazeiro, Sobradinho, Curaçá e Santa Maria. A tabela a seguir mostra à quantidade vendida desse jornal de segunda a sexta nessas cidades:

Vendas por dia da semana de Segunda a Sexta

 

Deseja-se saber o preço vendido em cada cidade, durante a semana de segunda a sexta, sabendo o jornal apurou R$ 100.000,00 durante a referida semana.

 As duas tabelas apresentadas podem ser escritas em forma de Matrizes. Aqui a Matriz Quantidade, representada por Q e a Matriz Preços, representada por P. Assim temos:

 Verificamos que o número de colunas de Q é o mesmo que o número de linhas de P, o que nos permite uma multiplicação, Q.P = F, onde F é a Matriz Faturamento. Fica:

Então em Petrolina e Juazeiro o Jornal custa R$ 1,58, em Sobradinho R$ 3,16 e em Santa Maria e Curaçá, R$ 4,08.