O PROBLEMA DOS TRÊS GÊNIOS DA LÂMPADA E A HIPÓTESE DE RIEMANN.

O problema consiste no seguinte: Um jovem está andando na rua quando, de repente, encontra um gênio da lâmpada que subitamente fala com ele:

- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.

- Aceito, disse o jovem.

E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.

Andando mais um pouco a frente o jovem encontra outro gênio que o faz a mesma proposta:

- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.

- Aceito, disse o jovem,

E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.

O jovem continuou a sua caminhada quando, mais uma vez, encontra um terceiro gênio que repete a proposta:

- Amo! – Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.

- Aceito, disse o jovem sem pensar muito. E assim aconteceu.

Ora, dessa vez não foi bom negócio para o jovem, pois, ao aceitar a proposta, ele verificou que não tinha mais nada no bolso.

Pergunta-se: Quantos Reais o jovem tinha bolso antes de encontrar com o primeiro gênio?

Há outras versões desse problema, mas seu sentido é o mesmo. O curioso é que, a partir de um simples problema desses, que podemos resolver através de equações de primeiro grau, esconde-se um problema de proporções muito maiores do que o se suponha inicialmente.

Para compreender melhor o que estou dizendo, vamos, primeiramente, resolver o problema.

RESOLUÇÃO:

Seja x o valor, em dinheiro, que o jovem tem no bolso, com x > 10. 

Então podemos escrever:

Primeiro gênio: (2x - 20)

Segundo gênio: 2(2x - 20) - 20

Terceiro gênio: 2[2(2x - 20) - 20] - 20

Para esclarecer melhor o que está escrito, chame de “a” o valor de 2x- 20, isto é:

 a = 2x- 20. Logo:

Primeiro gênio: a

Segundo gênio: 2a - 20

Terceiro gênio: 2(2a - 20) - 20

Como é a partir do terceiro gênio que o valor fica nulo, fazemos:

 2(2a - 20) - 20 = 0

4a - 40 - 20 = 0

4a = 60

a = 15

Mas, lembre-se que a = 2x - 20  , logo:

 2x - 20 = 15

2x = 35

x = 17, 50

Então o valor que o jovem tinha no bolso antes de encontra com o primeiro gênio era R$ 17, 50, ou seja, dezessete reais e cinquenta centavos.

A brincadeira começa a ficar mais interessante quando tentamos generalizar o problema, isto é, para quais valores poderíamos multiplicar o dinheiro e para quantos gênios isso seria necessário para que quando ocorresse o encontro com n gênios, a enésima vez fosse zerar o dinheiro no bolso?

Observe que o gênio sempre propõe o dobro e o garoto sempre o retribui com 20. Se o gênio propusesse com qualquer outro valor e o garoto retribuísse também com qualquer outro valor e se fossem quantos gênios houvesse, como ficaria esse problema?

Veja que antes era:

Para o primeiro gênio temos: 2x - 20

Para o segundo temos: 2(2x - 20) - 20

Para o terceiro temos: 2[2(2x - 20) - 20] - 20

Agora, fica:

Para o primeiro gênio, temos: (ax - b), com a, b ∈ IR

Para o segundo, temos: a(ax - b) - b => a²x - ab - b

Para o terceiro, temos: a[a(ax - b) - b] - b => a³x - a²b - ab - b

Matematicamente, fazemos:

 De uma forma mais elegante, temos:

Esta última expressão, para quem não conhece, fazendo b = 1, dá origem a nada mais nada menos que a função Zeta de Riemann, cujo prêmio para a descoberta de uma conjectura que leva seu nome, soma 1 milhão de dólares e já tem mais de um século sem resolução!

O primeiro a brincar com essa fórmula foi o gênio, sem exageros que dizer da “lâmpada”, Leonard Euler. A única coisa que Riemann fez foi estender o problema para os números Complexos, chegando a Famosa Teoria dos Números Primos e os zeros na linha!

Podemos testar a validade do resultado sobre os gênios. Como a brincadeira só vai até o terceiro gênio no valor de 20 reais descontados com o dobro do dinheiro, fazendo a = 2 (dobro do dinheiro), b = 20, que é o valor devolvido pelo garoto, e n = 4 (número de gênios), encontraremos x, que é o valor, em reais. Temos:

 Há algo realmente fantástico neste raciocínio. Observe que quanto mais gênios há, isto é, quanto mais parcelas de vezes o acontecido ocorre, o valor anterior é apenas acrescido da metade da diferença dos valores anteriores.

Em outras palavras, o valor anterior era de 17,50 e o posterior era de 18, 75, posso dizer, sem medo de errar, que o próximo será de 19, 375.

Pela tabela a seguir podemos visualizar melhor:

Gênios	Valor	Diferença Entre Valores	Sobrou no Bolso
1°	17,50	0,00	15,00
2°	15,00	12,50	10,00
3°	10	5,00	0,00

Observe o que acontecem com 6 gênios:

Gênios	Valor	Diferença Entre Valores	Sobrou no Bolso
	19,8437	0,0781
1°	19,6875	0,1562	19,375
2°	19,375	0,3124	18,75
3°	18,75	0,625	17,50
4°	17,50	1,25	15,00
5°	15,00	2,50	10,00
6°	10	5,00	0,00

Perceba que o valor posterior, subindo para sete gênios, reduz-se na metade do valor anterior. Esta diferença é acrescida ao valor, e à medida que os gênios vão aumentando em quantidade a diferença vai reduzindo cada vez menor, isto é, se aproxima cada vez mais de zero.

Usando limites, temos:

 Podemos concluir que o maior valor que o garoto pode ter, em reais, de modo que no último gênio venha a ficar com zero real, é próximo de R$ 20,00.  De fato, com este valor, R$ 20,00 ele não vai ficar nunca sem dinheiro no bolso.

Isso quer dizer que o crescimento, nessa taxa, nunca excederá os vinte. De certo, se o valor a ser descontado for b, o limite será o próprio b.

Numa situação mais geral, teríamos uma convergência.

O curioso é a semelhança do problema com a função Zeta e sua importância na luta do homem em desvendar o segredos dos Números Primos. Haja vista um prêmio milionário em questão, a Hipótese de Riemann está há mais de um século sem resolução e dizem os deuses da Matemática que quem o desvendar terá bem mais que riqueza e dinheiro, terá a imortalidade na galeria dos grandes gênios e suas contribuições para a humanidade.

Num outro poste falarei mais sobre a Hipótese de Riemann e seu impacto no mundo moderno.

De Einstein a Heisenberg

Nada melhor do que um pequeno PARADOXO em POR ENQUANTO

"Mudaram as estações, mas nada mudou,

(...) 

Se lembra quando a gente chegou um dia a acreditar

Que tudo era para sempre, sem saber que O PRA SEMPRE, SEMPRE ACABA" [Renato Russo]

É por isso que existe o pra SEMPRE, mesmo que SEMPRE ele acabe

Por falar em paradoxos, parece mesmo que nossa vida vive cercada deles: Não é somente o "pra sempre que sempre acaba", mas também um "nunca diga "nunca" ", "é proibido proibir", "toda regra tem sua exceção" e por aí vai...

"Tudo tem um começo", afirmariam alguns. Acreditamos no infinito grande, e também no infinito pequeno, mas quando nos perguntamos quem originou todas as coisas teimamos em aceitar que algo, ou alguém NUNCA nasceu.

Em matemática existe um tipo de prova que se chama "Prova por redução ao absurdo!". É um tipo de demonstração que se dá pedindo ao leitor que aceite uma ideia absurda, de algo comprovadamente falso, mas que mesmo assim ele pede que aceite como verdade. Depois de um conjunto de argumentos a favor, no final ele chega a uma contradição, comprovando que o tinha dito anteriormente é mesmo falso, do contrário aquele negócio lá que ele chegou também seria verdade, mas é um absurdo, pois sabíamos desde o começo que a suposição inicial era falsa.

Pois bem: Aceite que realmente "tudo tem um começo". Então alguém criou o "começo", e antes do começo ser criado, alguém criou quem criou o começo, e assim vai, sucessivamente... Ora, mas não tem jeito, vai ter que chegar a alguém que originou a todos os começos. Alguns chamam isso de DEUS, outros chamam de ACASO. Particularmente não acredito que ACASO crie alguma coisa, mas o propósito deste texto é a discussão sobre os vastos PARADOXOS que vivenciamos todos o dias e não nos damos conta. Da quantidade de verdades dúbias que existem, tal como o gato de Schrödinger, um morto vivo. Sim, um morto vivo! Antes de abrir a caixa com dispositivo que pode matá-lo na hora se ele mexer, um observador do lado de fora jamais saberá se o gato morreu ou ainda está vivo. Então alguém com uma inteligência brilhante afirmou que o gato assumiria duas verdades: está morto e vivo ao mesmo tempo! E o pior de tudo é que esse alguém inteligente não está errado!!! Se ele estiver errado, qual a sua opinião, leitor, o gato está vivo ou morto dentro da caixa, se você não pode abrir para ver?

Não se incomode com assuntos tão triviais como esse, afinal um "nunca diga nunca" nunca pode ser verdade, né? Ops! Tem gente que acredita em "homenzinhos verdes" andando entre nós, que existem outros seres, mas se esquecem que o mais importante não é se existem outros seres, mas se a "verdade" existe, ou quantas verdades tem? Ou quais existem? Esse ser "verdinho", se quiser ser presente na escala da vida, se perguntará a mesma coisa e, como nós, teria apenas um corpo diferente, mas o mesmo espírito desbravador de uma verdade que por vezes veste-se de mentira. De fato um "pra sempre sempre acaba" perpetua algo que acaba... rege o encontro de duas retas no infinito, faz o casamento delas e nos dão, como filhos, um mundo bizarro, cheio de loucuras que as pessoas passam por cima sem perceber. É a Pedra do Gênesis Raul Seixas?

Entendam uma coisa: existem verdades por aí que se contradizem, não tem jeito! É o CAOS que produz a ORDEM.

ENSAIO SOBRE O ACASO

Edmarcos Martins Jordão

“O bater das asas de uma borboleta, em Tóquio, pode provocar um furacão em Nova Iorque”.

Essa frase aparentemente exagerada reflete a complexidade que os sistemas dinâmicos não lineares têm apresentado a ciência. A incerteza sobre as certezas tem natureza agora bem mais que científica e tão longe não fogem a os debates de natureza filosófica e religiosa.

O conceito de que nada acontece por acaso, de que as pessoas são marcadas pelo destino, parece estar menos evidente do que se pensa, afinal de contas, a previsibilidade de acontecimentos em longo prazo tem se mostrado bem mais difíceis que a maioria das pessoas possa imaginar. Os modelos de previsões utilizados pela humanidade até então tem um limite muito claro: são úteis em um pequeno intervalo de tempo, mas são quase que totalmente ineficazes em escala de tempo maior. Um exemplo clássico disso são as previsões do tempo.

O menor distúrbio em um pequeno sistema pode provocar grandes consequências à frente em um sistema bem maior e complexo. E é isso que os cientistas têm observado, quase que perplexos, em sua incapacidade de saber mais sobre o futuro devido a sua natureza aleatória e imprevisível. De certa forma isso acalora o debate filosófico entre ciência e religião, porque enquanto esta primeira fala sobre a imprevisibilidade das coisas em escala maior a segunda diz que tudo está planejado e tem um futuro plenamente estabelecido.

No seu Ensaio sobre o Caos, John H. Hubbard, do departamento de matemática do Cornell University, Estados Unidos, pondera sobre pequenas ações e que mesmo o jargão já bem utilizado pelo cinema e pela indústria de ficção soa agora como ciência real, a saber, o pequeno bater de asas de um pequeno ser indefeso e irrelevante perante todo um sistema de coisas, pode provocar um furacão em outro lugar do mundo. “Uma justificativa sobre o efeito borboleta não é de maneira alguma óbvia”, diz ele e acrescenta:

Uma consequência dessa análise é que previsões do tempo para períodos longos são completamente impossíveis. É inconcebível que alguém possa saber o estado da atmosfera como consequência do efeito borboleta, ou mesmo em uma escala mil bilhões de vezes maior. Perturbações dessa escala decisivamente afetam a atmosfera em um mês. (ZILL, pag. 221, 2011; apud Hubbard, 2001).

A imprevisibilidade da vida de alguém

Suponhamos que os resultados dessa pesquisa sejam mesmo verdadeiros e trabalhemos com essa hipótese. As consequências disso são imediatas. Imagine um se humano que até então achava que as suas ações já foram programas por um ser superior (deus). Para ele suas ações são reflexos do planejamento desse ser, mas isso é um absurdo, pois um menor desvio do comportamento desse sistema, como foi visto, pode provocar imensas alterações na frente. eguidas vezes em nosso cotidiano somos imbuídos a tomar decisões de toda a natureza. Tomar a responsabilidade por todas essas ações e governá-las de modo a manipulá-las em pró de um objetivo parece ser improvável e explode nas probabilidades de realmente acontecer à ordem de bilhões de vezes.

Veja o caso descrito por Hubbard sobre um hipotético modelo. Considerando um sistema matemático de que cada tique de um relógio um ângulo é dobrado. Um primeiro estado desse sistema seja certo ângulo θ0, o segundo estado θ1... E assim vai. Seja a seguinte sequência:

                                                          θ0, θ1, θ2, ...,  e que θn + 1 = 2θn

Isto é, a cada ângulo θ o seguinte dobra. Se o θ0 sofrer uma perturbação, seja pelo balanço do vento nos ponteiros, uma mosca que sentou em algum deles atrasando-o, a bateria fraca do relógio, mesmo que seja da ordem de um bilionésimo de uma volta, após 30 tiques do relógio será impossível determinar seu estado. Após 30 tiques a incerteza sobre o comportamento da dobra dos ângulos será de 

isto é, cerca de 1.073.741.824 de incerteza. Isso sobre uma pequena ação. Para alterar a ação de um ser humano, que é bem mais complexo do que uma só ação, é bem mais assustador e absurdo do que o que se pensa!

Em suma, assumindo verdadeira a hipótese que sobre um escala maior de tempo nada pode ser determinado ou previsto, parece ser também incoerente acreditar que nosso cérebro possa ser perturbado várias vezes a o decurso de nossa vida apenas para satisfazer a um objetivo. Isso quer dizer que a cada ação provocada, seja pelo pousar de uma mosca no nariz que incomoda ou uma distração no transito causado por um latido de um cachorro, seria suficiente para nos tirar do rumo de casa ou mesmo no rumo da Igreja. Em outras palavras é impossível determinar o futuro de cada um. Assim como isso poderia ser obra de um ser superior para determinado indivíduo chegue a um objetivo, também seria fácil demais, pelas próprias distrações cotidianas, tirá-lo disso. Lembrando que estamos falando de apenas um indivíduo, que, querendo ou não, depende dos outros bilhões de indivíduos como ele e até de moscas e borboletas para atingir a uma decisão! Seria necessário também alterar a ordem de todos esses fatores para que João chegue a praça e conheça Maria.

Por outro lado tudo isso também indica a presença de um ser supremo. Se alguns religiosos estiverem mesmo certos, foi dado a os humanos o livre arbítrio. Então já sabemos o nome desse livre arbítrio e se chama: Caos. Quanto mais caótico for um sistema, mas incerto ele é.

Não é apenas na vida cotidiana regida por bilhões de regras e comportamentos que isso tem consequência. O movimento dos elétrons em um átomo também é caótico e quanto mais se sabe sobre um elétron, digamos sua posição, menos se sabe sobre sua velocidade e vice-versa. Estamos falando de uma importante teoria que é aplicada sobre áreas mais avançadas da ciência, que é a Teoria da Incerteza de Heisenberg. A teoria do Caos também foi proposta por um famoso matemático, Poincaré.

A mudança sobre um sistema inicial pode mesmo provocar grandes perturbações futuras, mas isso de modo algum quer dizer que se salvando a condição inicial, todo o resto do sistema pode funcionar com toda a previsibilidade antes conhecida. De modo algum! Considerando o sistema como uma série, podemos, a qualquer parte dessa série, considerar o sistema como inicial. Para esclarecer melhor observe a seguinte sequência

                                      a0, a1, a2, ..., an, ..., 

Quanto mais próximo for o acontecimento do instante inicial a0 maior será a sua previsibilidade. Mas digamos que a0 sofra uma pequena alteração da ordem de um bilionésimo. Quase nada, mas isso vai refletir sobre a2, que refletirá sobre a3 e assim sucessivamente. Do mesmo modo, se alguma perturbação acontecer em an isso provocará alterações em an+1 e assim em diante. Se parte dos acontecimentos em 

an-1 se deram de uma forma e em an se der de outra, an+1 sofrerá as consequência e o resultado de an+2 será diferente dos anteriores mencionados. Em outras palavras, a série divergirá e não encontrará uma resposta satisfatória. Em suma, quanto mais longa a previsão, menor a certeza sobre ela.

Em casos em que a série converge, qualquer parte dela também convergirá, isto é, também terá uma resposta satisfatória. Mas o problema dos sistemas dinâmicos é justamente esse: Não dá para prevê-los. É por isso que muitas vezes trabalhamos com probabilidades, assim como os químicos o fazem no comportamento dos elétrons a redor do núcleo atômico.

Se fôssemos traçar a vida de alguém ao longo de um gráfico este com certeza não seria linear, pelo contrário, seria um caos total na sua previsibilidade. Infelizmente nesse sentido a sequência converge, mas não para um estado satisfatório e sim para a morte, certa a todos os viventes. Será então esse o destino de que todos falam? Ele é a única previsão 100% verdadeira nesse mundo, pelo menos da forma como o conhecemos.

BIBLIOGRAFIA

ZILL, Denis G. Equações Diferenciais, volume 1. São Paulo: Pearsons Makron Books, 2011.

Diálogo Sobre a Matemática e Sua Imortalidade: Um Momento de Reflexão

*"E quem irá dizer que existe razão?"

Os números vêm bem antes do mundo e seria capaz de também dizer que vieram bem antes do Universo. Não falo aqui do sistema numérico atual, nem de anteriores, mas da alma dos números, sua essência, seu coração. Falo do raciocínio dedutivo e em como transformar símbolos em significados TÃO PROFUNDOS que só entendemos bem quando estudamos numa faculdade ou levamos anos fazendo isso estudando livros.

Em outras palavras podemos inventar qualquer sistema numérico, desde que estes obedeçam a certas verdades que criamos - os axiomas. Seja pelo sistema indo-arábicos, seja até mesmo pelo sistema Romano, qualquer sistema que se preze usaria uma base que sustentaria todo o resto, todas as outras “verdades” à partir daquela “verdade” inicial dada. Foi assim que nasceu a matemática, não por números, mas pelo significado que estes têm na mente humana. Ou você acha que 2 + 2 = 4? Isso é verdade? Bom, depende do contexto meu amigo, sim, depende de que universo estamos falando, i.e., de que espaço ele vive. Além disso, imagine bem, o que aconteceria se um extraterrestre visse essa simples equação. Ele a entenderia? Sim, muitos diriam. Mas até que ponto isso é verdade? Verdade se ele fosse versado em nosso sistema numérico! Pense bem, não é que ele não saiba matemática, na verdade, como muitos dizem, a língua do Universo é a matemática, mas é que ele não conhece o significado do desenho. Desenho? Sim, um desenho tal qual os homens das cavernas faziam, ou seja, a matemática é uma língua e os matemáticos nada mais que são tradutores dessa língua que usam esses símbolos para passarem a suas ideias.

Ora, mas eles, os matemáticos, pensam em termos gerais e não em termos locais. Eles não querem saber se esse “2 + 2 = 4” dá certo na padaria, ele quer saber se ele dá certo em qualquer situação, ou, pelo menos, em que situações. Assim nascem os teoremas, os lemas, os corolários e assim vai... Nasce também os Universos e suas dimensões, a casa de certos números. Por exemplo: Onde vivem os números Naturais? Eles vivem na casa dos Números Reais. E ondem vivem então o z = 2 + 2i? Bem, esse vive na casa dos Números Complexos, que digamos, é como se fosse a quadra em que se encontra essa casa e que resta-nos ainda a descobrir o que vive no Condomínio inteiro, o que vive na cidade, no estado, no planeta!

Ufa! É muita coisa hein! Entretanto, pare! Pense! Até que ponto isso é verdade? Até o ponto em que você aceitar isso como verdade mediante as provas que se farão através de demonstrações que se utilizarão daquelas “verdades” iniciais que você considerou como verdadeiras. E o resto, como os teoremas, os lemas, todas aquelas invenções de equações, x, y e etc. e tal? Bem, o resto vem delas. São as implicações, as consequências imediatas ou não dos axiomas. Nascem também algumas certezas que não são provadas, mas que se esperam que o sejam, assim são as conjecturas, que podem ser válidas ou não.

Amigão é assim que funciona a matemática, os números! Você acha que eles terão fim? A humanidade pode até se extinguir, a Via Láctea e todos os seus planetas e estrelas, mas enquanto houver vida inteligente em algum lugar no espaço, em alguma dimensão, sempre haverá matemática, mesmo até quando não houver mais nada, pois o nada é o “0” (zero) em pessoa!

"E quem irá dizer que não existe razão?"

*(RUSSO, Renato)

Geometria Analítica: Reta e Plano

Apresentaremos agora uma breve noção do que é a Geometria Analítica aplicada ao Plano e a Reta do R³ aliado ao conceito de vetores e suas características mais usuais.


1. APRESENTAÇÃO DO PLANO OXYZ.

Pouco se fala, em nível médio, sobre coordenadas em três dimensões. Geralmente o que se aplica nesse nível se baseia no R², i.e, em duas dimensões simbolizados pelas retas x (abcissas) e y (ordenadas) colocadas perpendicularmente uma a outra cujas coordenadas são dispostas em diversos pontos nesse espaço, como por exemplo aos pontos P(2,3) e Q(3,2), pertencentes a esse espaço. Contudo, aqui, exploraremos essas mesmas propriedades a nível de três dimensões, ou seja, agora além de "x" e "y" teremos também "z" (cota), perpendiculares entre si, como na figura: 

Fig. 1: Plano Oxyz

Pela figura 1 vemos como estão distribuídos alguns pontos no plano. Temos o ponto P1 de coordenadas (x, 0, 0), por isso marcado apenas no eixo das abcissas. Também os pontos P2 e P3. O ponto Q0 já possui valores para x, y e z, que são representados por   x´, y´e z´, ambos pertencentes a Oxyz com x < x´, y< y´e z < z´ na parte positiva do plano. Lembre-se de que O é a origem. 

Quando dados os pontos, os valores de x´, y´e z´ terão valores numéricos reais. Por exemplo, o ponto Q poderia ter coordenadas Q (1, 2, 3).

2. VETORES

2.1 IDENTIFICAÇÃO DE VETORES

Um vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado. Em matemática pode ser um ponto, à partir da origem, ou o segmento de reta definido entre dois pontos com tamanho, direção e sentido. Ver figura 1.1:

Fig. 2.1: Vetor u = B - A definido pelos pontos A e B

Quando um segmento de reta é delimitado por dois pontos quaisquer, como na Fig. 2.1, identificamos o vetor como a diferença entre os pontos, ou seja, o vetor u = B - A, i.e., u = (x0 - x, y0 - y). O seu comprimento pode ser obtido através do |u| (módulo de u), que se escreve assim, |u|² = (x - x0)² + ( y - y0)², ou

                                              

Além disso um vetor u por exemplo, pode ter seu tamanho reduzido ou ampliado através de um t qualquer pertencente a os Reais. Se t < 1, teremos uma redução, se t > 1, teremos um ampliação. Se t < 0. teremos uma mudança de sentido, isto é, o se o vetor u aponta para a direita, depois de multiplicado por esse t, ele inverte o seu sentido mudando para a esquerda. Essa mudança pode ser maior do que o vetor u original ou menor que ela, com t > -1 ou t < -1, respectivamente. Se t = 1 ou t = -1 não houve mudanças no tamanho. 

Fig. 2.1.2: Vetor tu, com t > 1. Observa-se que nesse caso o vetor u teve um aumento de t vezes o seu tamanho

OBS: Um caso interessante

Quando, dado dois vetores, um é perpendicular ao outro, o produto interno entre ambos é zero, ou seja um número real. Seja u, v vetores tal que u.v = 0. Sendo u = (a, b) e v = (c, d), temos:

u.v = ac + bd = 0

Por exemplo. Os vetores x = (1,0) e y = (0,1), são, na verdade, os eixos "x" e "y" do plano do R². Veja que o eixo x = (x, 0), pois dados dois pontos de x, seja O = (0,0) e B = (x, 0), temos que o vetor x = B - O:

x = (x, 0) - (0,0)

x = (x, 0)

 De modo análogo temos que e y = (0, y), pois sendo O = (0,0), C = (0, y), pontos de y, temos que y = C - O, ou seja

y = (0, y) - (0, 0)

y = (0, y)

Dando um tamanho inicial a eles, seja x = 1 e y = 1 unidade qualquer, temos x = (1,0) e y = (0,1). Então:

x.y = (1, 0).(0. 1)

x.y = 0 + 0

                            x.y = 0.                       (i)

Logo os eixos "x" e "y" são perpendiculares entre si.

2.2 ÂNGULOS ENTRE VETORES

Dados dois vetores u, v não nulos e não colineares, isto é, um não é múltiplo do outro, podemos identificar um ângulo β entre eles. Comecemos falando da desigualdade Cauchy Schwarz .

2.2.1 Desigualdade Cauchy Schwarz 

Seja u, v vetores não nulos. Para qualquer α ϵ R, temos:

(u + αv)(u + αv) ≥ 0

Efetuando o produto escalar:

u.u + u(αv) + u.(αv) + α²(v.v) ≥ 0

α²|v|² + 2α(u.v) +|u|² ≥ 0

É fácil observar que temos aqui uma equação de grau II em função de α. Como α² > 0 e u, v ≠ 0, calculando o ∆ da equação de II grau, fica:

∆ = b² - 4ac ≤ 0

(2u.v)² - 4|v|².|u|² ≤ 0

4(u.v)² - 4|v|².|u|² ≤ 0

(u.v)² ≤ |v|².|u|²

Considerando u.v > 0, temos:

|u.v| ≤ |u|.|v|       ( I )

2.2.2 Usando o cosseno para encontrar o ângulo entre dois vetores. Ver figura 2.2.1

Pela equação (I), temos:

  |u.v|    ≤ 1  =>          | |u.v|   | ≤ 1

|u|.|v|                        | |u|.|v||

  -1 ≤ | |u.v|   | ≤ 1. Como temos  0 ≤ β ≥ π, fica

           | |u|.|v||

cosβ =    u.v           (II)

           |u|.|v|

Fig. 2.2.1.: Os  vetores u e v em ângulo beta.

2.2.3 Provando (i)

De posse de (II), podemos encontrar qualquer ângulo entre dois vetores. Provemos, por exemplo, (i):

Como o eixo "x" (abcissas) faz 90° com o eixo "y", temos:

COS(90°) =     x.y    

                     |x||y|

x.y = |x|.|y|.cos90°

x.y = |x|.|y|.0

x.y = 0

Como queríamos demonstrar 

2.3 PRODUTO VETORIAL

Dados dois vetores, u e v podemos determinar um vetor  w tal que u e v seja perpendicular a w. Logo temos que  u.w = 0 e v.w = o. Ver figura 2.3

Fig.2.3. : Vetores u., v perpendiculares ao vetor w.

Seja u = (a. b, c), v = (d, e, f) e w = (x, y, z). Como u.w = 0 e v.w = 0, temos:

(a, b, c).(x, y, z) = 0 e (d, e, f).(x, y, z) = 0

ax + by + cz = 0

dx + ey + fz = 0

Então, como possível solução:

x = bf - ec

y = dc - af

z = ae - db

Fica:

w = ( bf - ec,  dc - af, ae - db) (III)

Logo w é o produto vetorial de u por v e se escreve assim: u x v.

Na observação do item 2.1, vimos que podemos escrever os eixos "x" e "y" como (1, 0) e (0, 1). De forma análoga a apresentada em 2.1 escrevemos o eixos em R³ como x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0) e z = (0, 0, 1). Chamando de i, j e k respectivamente x, y e z a combinação linear entre tais eixos resultam no total espaço R³.

Seja (x, y, z) ϵ R³. Então:

(x, y, z ) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) +z(0, 0, 1)

(x, y, z) = xi  yj + zk. 

Para memorizar tratemos a combinação linear acima como um determinante de terceira ordem:

Resolvendo o determinante, temos:

= ( bf - ec)i - (af - dc)j +  (ae - db)k

= (bf - ec, dc - af, ae - db), como em (III)

3. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Seja o eixo OXYZ  a seguir:

Fig. 3. : Representação da distância PQ

Pela Fig. 3, observamos a distancia do ponto P ao ponto Q. Veja que por Pitágoras, temos as seguintes relações:

PQ² = SP² + SQ²  ( * )

SQ = (z - z0)

PS = P0Q0

(P0Q0)² = HP0 + HQ0 

(P0Q0)² = (x - x0)² + (y - y0)²

PS² = (x - x0)² + (y - y0)²

Em ( * ), vem:

PQ² =  (x - x0)² + (y - y0)² +  (z - z0)². Logo: 

4. EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA

Claro que falando de distâncias vem logo à mente as retas. E como seriam as equações das retas no R³? Bom, podemos obtê-las de uma maneira mais bem geral que no R². Mais uma vez vamos apelar para uma figura para entendermos melhor coo funciona.

Fig. 4: Reta r paralela ao vetor v

Pela Fig.4, um ponto P(x, y, z) pertence a r se AP = tv, para t ϵ R. Veja que AP é o vetor v, ou alguns de seus múltiplos, deslocado. Seja A(x0, y0, z0) e v = (a, b, c). OBS.: Não confundir A e P, que são pontos, como v, que é o vetor.

Temos AP = (x - x0, y - y0, z - z0).

Como sabemos que AP = tv, fazemos:

(x - x0, y - y0, z - z0) = t(a, b, c)

Veja que:

x = x0 + at

y = y0 + bt }   ==> r          (**)

z = z0 + ct

Que é a equação paramétrica da reta.

4.1 Exemplo.

Encontre um ponto pertencente à reta que contém o ponto A(2, 1, -3) e é paralela a os vetores v = (3, -2, 2).

#RESOLUÇÃO

Por (**), temos que:

x = 2 + 3t

y = 1 - 2t    } ==> r

z = -3 + 2t

Como t é qualquer real, atribuímos um valor a t. Seja t = 1. Então fica:

     x = 5

r: {y = -1

     z = -1

5. PLANO

O R³ guarda fascinantes objetos matemáticos, como por exemplo o plano interagindo com outros elementos. O que seria então esse plano? Como o próprio nome já diz, podemos obter um plano a partir de pelo menos dois vetores, mas precisamos de pelo menos três para encontrar sua equação. Algebricamente falando se os vetores u, v e w não são múltiplos entre si acabam gerando o R³, i.e, (x, y, z) ϵ R³ => (x, y, z) = . u + v + w. Veja que (x, y, z) = a(x, 0, 0) + b(0, y, 0) + c(0, 0, z) com a = b = c = 1 e a, b e c ϵ  R.

5.1 Equação do Plano

Mais uma vez recorramos a uma figura para entender melhor o que se segue. Ver figura 5.

FIG. 5: Plano  π  

Seja A(x0, y0, z0), B(x, y, z) e o vetor n = (a, b, c). Temos:

u = B - A = > u = (x - x0, y - y0, z - z0)

Como u ┴ n:

n.u = 0


(a, b, c)(x - x0, y - y0, z - z0) = 0

ax + by + cz - ax0 - by0 - cz0 = 0

Fazendo a expressão em negrito igual a d, ou seja, d = - ax0 - by0 - cz0, fica:

ax + by + cz + d = 0. Logo 

Equação Geral do Plano

π: ax + by + cz + d = 0

Se dois Planos se interceptam o resultado será uma reta.

5.2 Equação Paramétrica do Plano

Fica ao leitor tentar deduzir a Equação Paramétrica do Plano. Usando os conceitos de definição de vetor e de retas é possível obter o resultado.

6. CONCLUSÃO

Não se pretendeu de maneira aqui esgotar o assunto. Na verdade muitas coisas foram omitidas ao leitor, como algumas provas e demonstrações mais rigorosas. Doravante é essencial agora que se ponha em prática o exposto resolvendo muitas atividades. Espero poder ter ajudado um pouco no entendimento.

Se alguma coisa ficou obscura, não clara ou algum possível erro, por favor, não exite em me comunicar, pois estarei de prontidão e honrado em corrigir.

7. REFERÊNCIAS

REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. GEOMETRIA ANALÍTICA. Rio de Janeiro: LTC, 1984.

LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. (Coleção Matemática Universitária)

LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear - Teorias e Problema. São Paulo: Perason Makron Books, 1994. (Coleção Schaum)