segunda-feira, 4 de agosto de 2014

O PROBLEMA DOS TRÊS GÊNIOS DA LÂMPADA E A HIPÓTESE DE RIEMANN.

O problema consiste no seguinte: Um jovem está andando na rua quando, de repente, encontra um gênio da lâmpada que subitamente fala com ele:
- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.
- Aceito, disse o jovem.
E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.
Andando mais um pouco a frente o jovem encontra outro gênio que o faz a mesma proposta:
- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.
- Aceito, disse o jovem,
E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.
O jovem continuou a sua caminhada quando, mais uma vez, encontra um terceiro gênio que repete a proposta:
- Amo! – Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.
- Aceito, disse o jovem sem pensar muito. E assim aconteceu.
Ora, dessa vez não foi bom negócio para o jovem, pois, ao aceitar a proposta, ele verificou que não tinha mais nada no bolso.
Pergunta-se: Quantos Reais o jovem tinha bolso antes de encontrar com o primeiro gênio?

Há outras versões desse problema, mas seu sentido é o mesmo. O curioso é que, a partir de um simples problema desses, que podemos resolver através de equações de primeiro grau, esconde-se um problema de proporções muito maiores do que o se suponha inicialmente.
Para compreender melhor o que estou dizendo, vamos, primeiramente, resolver o problema.

RESOLUÇÃO:
Seja x o valor, em dinheiro, que o jovem tem no bolso, com x > 10. 
Então podemos escrever:
Primeiro gênio: (2x - 20)
Segundo gênio: 2(2x - 20) - 20
Terceiro gênio: 2[2(2x - 20) - 20] - 20

Para esclarecer melhor o que está escrito, chame de “a” o valor de 2x- 20, isto é:
 a = 2x- 20. Logo:
Primeiro gênio: a
Segundo gênio: 2a - 20
Terceiro gênio: 2(2a - 20) - 20


Como é a partir do terceiro gênio que o valor fica nulo, fazemos:

 2(2a - 20) - 20 = 0
4a - 40 - 20 = 0
4a = 60
a = 15

Mas, lembre-se que a = 2x - 20  , logo:
 2x - 20 = 15
2x = 35
x = 17, 50

Então o valor que o jovem tinha no bolso antes de encontra com o primeiro gênio era R$ 17, 50, ou seja, dezessete reais e cinquenta centavos.
A brincadeira começa a ficar mais interessante quando tentamos generalizar o problema, isto é, para quais valores poderíamos multiplicar o dinheiro e para quantos gênios isso seria necessário para que quando ocorresse o encontro com n gênios, a enésima vez fosse zerar o dinheiro no bolso?
Observe que o gênio sempre propõe o dobro e o garoto sempre o retribui com 20. Se o gênio propusesse com qualquer outro valor e o garoto retribuísse também com qualquer outro valor e se fossem quantos gênios houvesse, como ficaria esse problema?

Veja que antes era:
Para o primeiro gênio temos: 2x - 20
Para o segundo temos: 2(2x - 20) - 20
Para o terceiro temos: 2[2(2x - 20) - 20] - 20

Agora, fica:
Para o primeiro gênio, temos: (ax - b), com a, b ∈ IR
Para o segundo, temos: a(ax - b) - b => a²x - ab - b
Para o terceiro, temos: a[a(ax - b) - b] - b => a³x - a²b - ab - b

Matematicamente, fazemos:

 De uma forma mais elegante, temos:



Esta última expressão, para quem não conhece, fazendo b = 1, dá origem a nada mais nada menos que a função Zeta de Riemann, cujo prêmio para a descoberta de uma conjectura que leva seu nome, soma 1 milhão de dólares e já tem mais de um século sem resolução!
O primeiro a brincar com essa fórmula foi o gênio, sem exageros que dizer da “lâmpada”, Leonard Euler. A única coisa que Riemann fez foi estender o problema para os números Complexos, chegando a Famosa Teoria dos Números Primos e os zeros na linha!
Podemos testar a validade do resultado sobre os gênios. Como a brincadeira só vai até o terceiro gênio no valor de 20 reais descontados com o dobro do dinheiro, fazendo a = 2 (dobro do dinheiro), b = 20, que é o valor devolvido pelo garoto, e n = 4 (número de gênios), encontraremos x, que é o valor, em reais. Temos:
 Há algo realmente fantástico neste raciocínio. Observe que quanto mais gênios há, isto é, quanto mais parcelas de vezes o acontecido ocorre, o valor anterior é apenas acrescido da metade da diferença dos valores anteriores.
Em outras palavras, o valor anterior era de 17,50 e o posterior era de 18, 75, posso dizer, sem medo de errar, que o próximo será de 19, 375.

Pela tabela a seguir podemos visualizar melhor:
Gênios
Valor
Diferença Entre Valores
Sobrou no Bolso
17,50
0,00
15,00
15,00
12,50
10,00
10
5,00
0,00

Observe o que acontecem com 6 gênios:
Gênios
Valor
Diferença Entre Valores
Sobrou no Bolso

19,8437
0,0781

19,6875
0,1562
19,375
19,375
0,3124
18,75
18,75
0,625
17,50
17,50
1,25
15,00
15,00
2,50
10,00
10
5,00
0,00


Perceba que o valor posterior, subindo para sete gênios, reduz-se na metade do valor anterior. Esta diferença é acrescida ao valor, e à medida que os gênios vão aumentando em quantidade a diferença vai reduzindo cada vez menor, isto é, se aproxima cada vez mais de zero.
Usando limites, temos:
 Podemos concluir que o maior valor que o garoto pode ter, em reais, de modo que no último gênio venha a ficar com zero real, é próximo de R$ 20,00.  De fato, com este valor, R$ 20,00 ele não vai ficar nunca sem dinheiro no bolso.
Isso quer dizer que o crescimento, nessa taxa, nunca excederá os vinte. De certo, se o valor a ser descontado for b, o limite será o próprio b.

Numa situação mais geral, teríamos uma convergência.
O curioso é a semelhança do problema com a função Zeta e sua importância na luta do homem em desvendar o segredos dos Números Primos. Haja vista um prêmio milionário em questão, a Hipótese de Riemann está há mais de um século sem resolução e dizem os deuses da Matemática que quem o desvendar terá bem mais que riqueza e dinheiro, terá a imortalidade na galeria dos grandes gênios e suas contribuições para a humanidade.

Num outro poste falarei mais sobre a Hipótese de Riemann e seu impacto no mundo moderno.

domingo, 20 de abril de 2014

De Einstein a Heisenberg

Nada melhor do que um pequeno PARADOXO em POR ENQUANTO


"Mudaram as estações, mas nada mudou,
(...) 
Se lembra quando a gente chegou um dia a acreditar
Que tudo era para sempre, sem saber que O PRA SEMPRE, SEMPRE ACABA" [Renato Russo]


É por isso que existe o pra SEMPRE, mesmo que SEMPRE ele acabe
Por falar em paradoxos, parece mesmo que nossa vida vive cercada deles: Não é somente o "pra sempre que sempre acaba", mas também um "nunca diga "nunca" ", "é proibido proibir", "toda regra tem sua exceção" e por aí vai...

"Tudo tem um começo", afirmariam alguns. Acreditamos no infinito grande, e também no infinito pequeno, mas quando nos perguntamos quem originou todas as coisas teimamos em aceitar que algo, ou alguém NUNCA nasceu.
Em matemática existe um tipo de prova que se chama "Prova por redução ao absurdo!". É um tipo de demonstração que se dá pedindo ao leitor que aceite uma ideia absurda, de algo comprovadamente falso, mas que mesmo assim ele pede que aceite como verdade. Depois de um conjunto de argumentos a favor, no final ele chega a uma contradição, comprovando que o tinha dito anteriormente é mesmo falso, do contrário aquele negócio lá que ele chegou também seria verdade, mas é um absurdo, pois sabíamos desde o começo que a suposição inicial era falsa.
Pois bem: Aceite que realmente "tudo tem um começo". Então alguém criou o "começo", e antes do começo ser criado, alguém criou quem criou o começo, e assim vai, sucessivamente... Ora, mas não tem jeito, vai ter que chegar a alguém que originou a todos os começos. Alguns chamam isso de DEUS, outros chamam de ACASO. Particularmente não acredito que ACASO crie alguma coisa, mas o propósito deste texto é a discussão sobre os vastos PARADOXOS que vivenciamos todos o dias e não nos damos conta. Da quantidade de verdades dúbias que existem, tal como o gato de Schrödinger, um morto vivo. Sim, um morto vivo! Antes de abrir a caixa com dispositivo que pode matá-lo na hora se ele mexer, um observador do lado de fora jamais saberá se o gato morreu ou ainda está vivo. Então alguém com uma inteligência brilhante afirmou que o gato assumiria duas verdades: está morto e vivo ao mesmo tempo! E o pior de tudo é que esse alguém inteligente não está errado!!! Se ele estiver errado, qual a sua opinião, leitor, o gato está vivo ou morto dentro da caixa, se você não pode abrir para ver?
Não se incomode com assuntos tão triviais como esse, afinal um "nunca diga nunca" nunca pode ser verdade, né? Ops! Tem gente que acredita em "homenzinhos verdes" andando entre nós, que existem outros seres, mas se esquecem que o mais importante não é se existem outros seres, mas se a "verdade" existe, ou quantas verdades tem? Ou quais existem? Esse ser "verdinho", se quiser ser presente na escala da vida, se perguntará a mesma coisa e, como nós, teria apenas um corpo diferente, mas o mesmo espírito desbravador de uma verdade que por vezes veste-se de mentira. De fato um "pra sempre sempre acaba" perpetua algo que acaba... rege o encontro de duas retas no infinito, faz o casamento delas e nos dão, como filhos, um mundo bizarro, cheio de loucuras que as pessoas passam por cima sem perceber. É a Pedra do Gênesis Raul Seixas?
Entendam uma coisa: existem verdades por aí que se contradizem, não tem jeito! É o CAOS que produz a ORDEM.

Matemática: Arte das Trevas?

Tudo começou quando há um certo tempo um amigo de faculdade chegou em sala de aula totalmente maravilhado com um pequeno comentário de um de seus alunos. Ele foi surpreendido pelo pequeno com uma pequena e desconcertante pergunta: "Ei, você que é o Professor das Artes das Trevas?"

Bem pode ser que a maioria das pessoas não chegue a tanto como o garoto, mas certamente também compartilham com ele o mesmo espírito desbravador dessa que é realmente uma ciência oculta e perigosa e que ensina a os homens a pensarem por si , construirem um futuro melhor e a tornar mais gratificante e facilitadora a vida.

Aqui serão tratados assuntos referentes à matemática, ao seu dia-a-adia, leitor, ao seu cotidiano, inter-nauta, à sua sede de descoberta, curioso, à todos aqueles amantes da Ciência das "Artes das Trevas". Não tenham medo do nome, é parte do homosapiens temer do desconhecido e apenas caminhamos em direção ao entendimento da matemática e a uma nova visão de mundo.

À todos sejam Bem Vindos!

A Evolução das Perguntas

A Evolução das Perguntas
Homem aprendendo a fazer fogo e a contar