O problema consiste no seguinte: Um jovem está andando na rua quando, de repente, encontra um gênio da lâmpada que subitamente fala com ele:
- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.
- Aceito, disse o jovem.
E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.
Andando mais um pouco a frente o jovem encontra outro gênio que o faz a mesma proposta:
- Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.
- Aceito, disse o jovem,
E assim aconteceu, o gênio dobrou o dinheiro que ele tinha no bolso e, em seguida, deu-lhe R$ 20,00.
O jovem continuou a sua caminhada quando, mais uma vez, encontra um terceiro gênio que repete a proposta:
- Amo! – Amo! Dobro o dinheiro que você tem no bolso se, depois disso, dar-me R$ 20,00.
- Aceito, disse o jovem sem pensar muito. E assim aconteceu.
Ora, dessa vez não foi bom negócio para o jovem, pois, ao aceitar a proposta, ele verificou que não tinha mais nada no bolso.
Pergunta-se: Quantos Reais o jovem tinha bolso antes de encontrar com o primeiro gênio?
Há outras versões desse problema, mas seu sentido é o mesmo. O curioso é que, a partir de um simples problema desses, que podemos resolver através de equações de primeiro grau, esconde-se um problema de proporções muito maiores do que o se suponha inicialmente.
Para compreender melhor o que estou dizendo, vamos, primeiramente, resolver o problema.
RESOLUÇÃO:
Seja x o valor, em dinheiro, que o jovem tem no bolso, com x > 10.
Então podemos escrever:
Primeiro gênio: (2x - 20)
Segundo gênio: 2(2x - 20) - 20
Terceiro gênio: 2[2(2x - 20) - 20] - 20
Para esclarecer melhor o que está escrito, chame de “a” o valor de 2x- 20, isto é:
a = 2x- 20. Logo:
Primeiro gênio: a
Segundo gênio: 2a - 20
Terceiro gênio: 2(2a - 20) - 20
Como é a partir do terceiro gênio que o valor fica nulo, fazemos:
2(2a - 20) - 20 = 0
4a - 40 - 20 = 0
4a = 60
a = 15
Mas, lembre-se que a = 2x - 20 , logo:
2x - 20 = 15
2x = 35
x = 17, 50
Então o valor que o jovem tinha no bolso antes de encontra com o primeiro gênio era R$ 17, 50, ou seja, dezessete reais e cinquenta centavos.
A brincadeira começa a ficar mais interessante quando tentamos generalizar o problema, isto é, para quais valores poderíamos multiplicar o dinheiro e para quantos gênios isso seria necessário para que quando ocorresse o encontro com n gênios, a enésima vez fosse zerar o dinheiro no bolso?
Observe que o gênio sempre propõe o dobro e o garoto sempre o retribui com 20. Se o gênio propusesse com qualquer outro valor e o garoto retribuísse também com qualquer outro valor e se fossem quantos gênios houvesse, como ficaria esse problema?
Veja que antes era:
Para o primeiro gênio temos: 2x - 20
Para o segundo temos: 2(2x - 20) - 20
Para o terceiro temos: 2[2(2x - 20) - 20] - 20
Agora, fica:
Para o primeiro gênio, temos: (ax - b), com a, b ∈ IR
Para o segundo, temos: a(ax - b) - b => a²x - ab - b
Para o terceiro, temos: a[a(ax - b) - b] - b => a³x - a²b - ab - b
Matematicamente, fazemos:
De uma forma mais elegante, temos:
Esta última expressão, para quem não conhece, fazendo b = 1, dá origem a nada mais nada menos que a função Zeta de Riemann, cujo prêmio para a descoberta de uma conjectura que leva seu nome, soma 1 milhão de dólares e já tem mais de um século sem resolução!
O primeiro a brincar com essa fórmula foi o gênio, sem exageros que dizer da “lâmpada”, Leonard Euler. A única coisa que Riemann fez foi estender o problema para os números Complexos, chegando a Famosa Teoria dos Números Primos e os zeros na linha!
Podemos testar a validade do resultado sobre os gênios. Como a brincadeira só vai até o terceiro gênio no valor de 20 reais descontados com o dobro do dinheiro, fazendo a = 2 (dobro do dinheiro), b = 20, que é o valor devolvido pelo garoto, e n = 4 (número de gênios), encontraremos x, que é o valor, em reais. Temos:
Há algo realmente fantástico neste raciocínio. Observe que quanto mais gênios há, isto é, quanto mais parcelas de vezes o acontecido ocorre, o valor anterior é apenas acrescido da metade da diferença dos valores anteriores.
Em outras palavras, o valor anterior era de 17,50 e o posterior era de 18, 75, posso dizer, sem medo de errar, que o próximo será de 19, 375.
Pela tabela a seguir podemos visualizar melhor:
Gênios
|
Valor
|
Diferença Entre Valores
|
Sobrou no Bolso
|
1°
|
17,50
|
0,00
|
15,00
|
2°
|
15,00
|
12,50
|
10,00
|
3°
|
10
|
5,00
|
0,00
|
Observe o que acontecem com 6 gênios:
Gênios
|
Valor
|
Diferença Entre Valores
|
Sobrou no Bolso
|
19,8437
|
0,0781
| ||
1°
|
19,6875
|
0,1562
|
19,375
|
2°
|
19,375
|
0,3124
|
18,75
|
3°
|
18,75
|
0,625
|
17,50
|
4°
|
17,50
|
1,25
|
15,00
|
5°
|
15,00
|
2,50
|
10,00
|
6°
|
10
|
5,00
|
0,00
|
Perceba que o valor posterior, subindo para sete gênios, reduz-se na metade do valor anterior. Esta diferença é acrescida ao valor, e à medida que os gênios vão aumentando em quantidade a diferença vai reduzindo cada vez menor, isto é, se aproxima cada vez mais de zero.
Usando limites, temos:
Podemos concluir que o maior valor que o garoto pode ter, em reais, de modo que no último gênio venha a ficar com zero real, é próximo de R$ 20,00. De fato, com este valor, R$ 20,00 ele não vai ficar nunca sem dinheiro no bolso.
Isso quer dizer que o crescimento, nessa taxa, nunca excederá os vinte. De certo, se o valor a ser descontado for b, o limite será o próprio b.
Numa situação mais geral, teríamos uma convergência.
O curioso é a semelhança do problema com a função Zeta e sua importância na luta do homem em desvendar o segredos dos Números Primos. Haja vista um prêmio milionário em questão, a Hipótese de Riemann está há mais de um século sem resolução e dizem os deuses da Matemática que quem o desvendar terá bem mais que riqueza e dinheiro, terá a imortalidade na galeria dos grandes gênios e suas contribuições para a humanidade.
Num outro poste falarei mais sobre a Hipótese de Riemann e seu impacto no mundo moderno.
