Muito usadas no Ensino Superior, as Coordenadas Polares ainda são pouco conhecidas, principalmente no Ensino Médio, e menos ainda suas aplicações.
Bom, comecemos por dizer o que são coordenadas Polares:
Como o próprio nome já diz são um tipo de notação de coordenadas que se colocam num plano bidimensional, como um tipo especial de plano semelhante ao Cartesiano, só que utiliza outros parâmentros. Usando uma definição mais matemática, poder-se-ia dizer que é um plano de coordenadas (r, θ),sendo r = raio e θ = a um ângulo qualquer, aplicadas sobre um plano, conhecido com pólo (origem) equivalenmte ao eixo x nas coordandas cartesianas. Uma vez escolhido o raio que se quer, traça-se na direção do ângulo θ uma semi-reta (raio), assim:
Figura 1.a: Representação de coordenada polar no plano
Ora, para plotar uma determinada coordenada basta inserir seus valores nos respectivos eixos, isto é, seja a seguinte coordenada (1, π/3), no gráfico ela fica:
Figura 1.b: Par ordenado (1, π/3) em coordenadas polares
Esse intricado sistema foi desenvolvido por Isaac Newton para facilitar alguns cálculos matemáticos. Apesar de ainda não ser amplamente conhecido o sistema oferece uma nova abordagem sobre gráficos e funções apresentando contornos curiosos. Por exemplo, veja plotagem da função r = 1 + senθ
Figura 2: Crardióide
De modo análogo ao que ocorre nas coordenadas cartesianas, em que se atribuem valores à funções para se obter o gráfico, também o é em coordenadas polares. Observemos abaixo alguns valores
θ r = 1 + senθ (r, θ)
0 r = 1 + sen0 (1, 0)
π/6 r = 1 + senπ/6 => 1 + 1/2 (3/2, π/6)
π/4 r = 1 + senπ/4 => 1 + √2/2 (1 + √2/2, π/4)
π/6 r = 1 + senπ/6 => 1 + 1/2 (3/2, π/6)
π/4 r = 1 + senπ/4 => 1 + √2/2 (1 + √2/2, π/4)
π/3 r = 1 + senπ/3 => 1+√3/2 (1 + √3/2, π/3)
π/2 r = 1 + senπ/2 => 1 + 1 (2, π/2)
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E assim sucessivamente. Uma vez encontrados os valores é só plotar, como no exemlo anterior e juntar os pontos. Foi dessa forma que nasceu a nossa bela Cardióide acima, nome esse dado por assemelhar-se a um coração.
Por exemlo podemos calular uma rosa de n pétalas. Seja r = 1 - 3cos(10θ), o resultado será uma rosa de 20 pétalas, veja:
Essa plotagem torna-se muito trabalhosa se feita na mão bruta, então é melhor usar programas que desempenhem funções matemáticas mais complicadas, como na imagem acima. Neste caso foi utilizado o programa Wimplot, mas há dezenas de outros que tem a mesma finalidade. Com o uso desses programas é possível inventar uma infinidade de gráficos de diversos tipos, fazer comparações, estudar sinais, derivadas, áreas, volumes, comprimentos entre outros cálculos.
Uma pergunta naturalmente surge: E se fosse em coordenadas cartesianas, como ficariam essas coordenadas?
Para responder a essa pergunta é necessário irmos para o plano. Seja o plano abaixo
Pela relação trigonométrica sabemos que
π/2 r = 1 + senπ/2 => 1 + 1 (2, π/2)
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E assim sucessivamente. Uma vez encontrados os valores é só plotar, como no exemlo anterior e juntar os pontos. Foi dessa forma que nasceu a nossa bela Cardióide acima, nome esse dado por assemelhar-se a um coração.
Por exemlo podemos calular uma rosa de n pétalas. Seja r = 1 - 3cos(10θ), o resultado será uma rosa de 20 pétalas, veja:
Figura 3: Rosácea de 20 pétalas
Essa plotagem torna-se muito trabalhosa se feita na mão bruta, então é melhor usar programas que desempenhem funções matemáticas mais complicadas, como na imagem acima. Neste caso foi utilizado o programa Wimplot, mas há dezenas de outros que tem a mesma finalidade. Com o uso desses programas é possível inventar uma infinidade de gráficos de diversos tipos, fazer comparações, estudar sinais, derivadas, áreas, volumes, comprimentos entre outros cálculos.
Uma pergunta naturalmente surge: E se fosse em coordenadas cartesianas, como ficariam essas coordenadas?
Para responder a essa pergunta é necessário irmos para o plano. Seja o plano abaixo
Figura 4: Coordenada polar (r, θ)
Pela relação trigonométrica sabemos que
senθ = x´M´/r (Equação I)
cosθ = ox´/r (Equação II)
Donde
x´M´= y
e
e
ox´= x, onde x e y é o par ordenado, (x, y).
Substituindo nas equações I e II, temos:
senθ = y/r => y = rsenθ
cosθ = x/r => x = rcosθ
Por Pitágoras fica:
r² = x² + y²
Que são as respectivas fórmulas para se transformar coordenadas polares em cartesinas e vice-versa.
Seja o par ordenado (1, π/3) da figura 2, podemos transformá-la em coordenadas polares aplicarndo as fórmulas descritas acima, assim
y = 1sen(π/3)
y = √3/2
e
x = 1cos(π/3)
x = 1/2
Então fica (1/2, √3/2)
No gráfico fica:
Figura 5: Gráfico Cartesiano
Por fim no Winplot podemos vislumbrar lindas figuras como a seguir
Figura 6: Várias funções na construção dos gráficos
Certamente criações como estas revelam quão linda e fascinante é o mundo da matemática. Além das coordenadas polares existem as coordenadas implícitas, explícitas e paramétricas no plano bidimensional (x, y) adicionadas às esféricas e cilidnricas no tridimensional (x, y, z).