quarta-feira, 27 de janeiro de 2010

Coordenadas Polares - O que são?


Muito usadas no Ensino Superior, as Coordenadas Polares ainda são pouco conhecidas, principalmente no Ensino Médio, e menos ainda suas aplicações.

Bom, comecemos por dizer o que são coordenadas Polares:
Como o próprio nome já diz são um tipo de notação de coordenadas que se colocam num plano bidimensional, como um tipo especial de plano semelhante ao Cartesiano, só que utiliza outros parâmentros. Usando uma definição mais matemática, poder-se-ia dizer que é um plano de coordenadas (r, θ),sendo r = raio e θ = a um ângulo qualquer, aplicadas sobre um plano, conhecido com pólo (origem) equivalenmte ao eixo x nas coordandas cartesianas. Uma vez escolhido o raio que se quer, traça-se na direção do ângulo θ uma semi-reta (raio), assim:

Figura 1.a: Representação de coordenada polar no plano

Ora, para plotar uma determinada coordenada basta inserir seus valores nos respectivos eixos, isto é, seja a seguinte coordenada (1, π/3), no gráfico ela fica:


Figura 1.b: Par ordenado (1, π/3) em coordenadas polares 



OBS: É importante verificar em qual notação está se usando os valores para θ. Normalmente utiliza-se a notação em radianos, isto é, ao invés de dizer que um ângulo tem 60º, diz-se que ele tem π/3rad, que é o seu correspondente em radianos.


Esse intricado sistema foi desenvolvido por Isaac Newton para facilitar alguns cálculos matemáticos. Apesar de ainda não ser amplamente conhecido o sistema oferece uma nova abordagem sobre gráficos e funções apresentando contornos curiosos. Por exemplo, veja plotagem da função r = 1 + senθ



Figura 2: Crardióide

De modo análogo ao que ocorre nas coordenadas cartesianas, em que se atribuem valores à funções para se obter o gráfico, também o é em coordenadas polares. Observemos abaixo alguns valores

θ        r = 1 + senθ                        (r, θ)

0        r = 1 + sen0                         (1, 0)
π/6     r = 1 + senπ/6 => 1 + 1/2     (3/2, π/6)
π/4     r = 1 + senπ/4 => 1 + √2/2   (1 + √2/2, π/4)
π/3     r = 1 + senπ/3 => 1+√3/2     (1 + √3/2, π/3)
π/2     r = 1 + senπ/2 => 1 + 1        (2, π/2)
.
.
.
E assim sucessivamente. Uma vez encontrados os valores é só plotar, como no exemlo anterior e juntar os pontos. Foi dessa forma que nasceu a nossa bela Cardióide acima, nome esse dado por assemelhar-se a um coração.

Por exemlo podemos calular uma rosa de n pétalas. Seja r = 1 - 3cos(10θ), o resultado será uma rosa de 20 pétalas, veja:


Figura 3: Rosácea de 20 pétalas


Essa plotagem torna-se muito trabalhosa se feita na mão bruta, então é melhor usar programas que desempenhem funções matemáticas mais complicadas, como na imagem acima. Neste caso foi utilizado o programa Wimplot, mas há dezenas de outros que tem a mesma finalidade. Com o uso desses programas é possível inventar uma infinidade de gráficos de diversos tipos, fazer comparações, estudar sinais, derivadas, áreas, volumes, comprimentos entre outros cálculos.

Uma pergunta naturalmente surge: E se fosse em coordenadas cartesianas, como ficariam essas coordenadas?
Para responder a essa pergunta é necessário irmos para o plano. Seja o plano abaixo




Figura 4: Coordenada polar (r, θ)


Pela relação trigonométrica sabemos que

senθ = x´M´/r (Equação I)

cosθ = ox´/r     (Equação II)


Donde
x´M´= y    
e
ox´= x, onde x e y é o par ordenado, (x, y).


Substituindo nas equações I e II, temos:


senθ = y/r => y = rsenθ
cosθ = x/r => x = rcosθ 

Por Pitágoras fica:
r² = x² + y²



Que são as respectivas fórmulas para se transformar coordenadas polares em cartesinas e vice-versa.


Seja o par ordenado (1, π/3) da figura 2, podemos transformá-la em coordenadas polares aplicarndo as fórmulas descritas acima, assim

y = 1sen(π/3)
y =  √3/2
e
x = 1cos(π/3)
x = 1/2

Então fica (1/2, √3/2)

No gráfico fica:




















Figura 5: Gráfico Cartesiano


Por fim no Winplot podemos vislumbrar lindas figuras como a seguir


Figura 6: Várias funções na construção dos gráficos


Certamente criações como estas revelam quão linda e fascinante é o mundo da matemática. Além das coordenadas polares existem as coordenadas implícitas, explícitas e paramétricas no plano bidimensional (x, y) adicionadas às esféricas e cilidnricas no tridimensional (x, y, z).

Um comentário:

Anônimo disse...

Está desde há muito determinado que a Matemática faz parte do nosso quotidiano, com frequência de um modo pouco evidente para a maioria de nós, mas em certas ocasiões assumindo uma expressão bem visível, cujos exemplos abundam na Natureza e no meio que nos envolve. No fundo, trata-se apenas de aprendermos a olhar. Muito bela essa figura Parabéns!!

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Tudo começou quando há um certo tempo um amigo de faculdade chegou em sala de aula totalmente maravilhado com um pequeno comentário de um de seus alunos. Ele foi surpreendido pelo pequeno com uma pequena e desconcertante pergunta: "Ei, você que é o Professor das Artes das Trevas?"

Bem pode ser que a maioria das pessoas não chegue a tanto como o garoto, mas certamente também compartilham com ele o mesmo espírito desbravador dessa que é realmente uma ciência oculta e perigosa e que ensina a os homens a pensarem por si , construirem um futuro melhor e a tornar mais gratificante e facilitadora a vida.

Aqui serão tratados assuntos referentes à matemática, ao seu dia-a-adia, leitor, ao seu cotidiano, inter-nauta, à sua sede de descoberta, curioso, à todos aqueles amantes da Ciência das "Artes das Trevas". Não tenham medo do nome, é parte do homosapiens temer do desconhecido e apenas caminhamos em direção ao entendimento da matemática e a uma nova visão de mundo.

À todos sejam Bem Vindos!

A Evolução das Perguntas

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Homem aprendendo a fazer fogo e a contar