Uma Análise Matemática do Arco da Orla de Curaçá

Na nossa cidade (Curaçá-Ba) existe uma figura geométrica que muito intriga. Para alguns não passa de uma estrutura em forma de arco, mal feita e que enfeita a orla. Para outros representa uma forma peculiar de arquitetura. valorizando o por do sol trazendo uma estética arrojada à visão de quem a observa de frente.

Figura 1: Arco da Orla de Curaçá, visão de frente ao por do sol

Fato é que tal estrutura cativou a curiosidade matemática desse que vos escreve, e a pedido de uma amigo, resolvi fazer uma pequena pesquisa do arco.

Os resultados não se mostraram ricos, tamanho também foi o desânimo quando vi que se tratava de um objeto geométrico irregular e grosseiro. Mas quão foi admirável quando, na verdade, verificou-se de que não se tratava de uma parábola. Vamos a os dados:

* O arco não é uma parábola

*  O arco cria uma ilusão de um "arco capaz"

* O sol fica bem no meio do arco nos solstícios apresentando belas imagens

* Tem traços fortíssimos da Razão Divina

Bom, vamos  falar do nosso primeiro item.

=>PARÁBOLA

Aprendemos no ensino fundamental que uma equação de segundo grau tipo ax² +bx + c forma no gráfico uma parábola, que pode ter uma máximo, se está voltada para baixo, ou pode ter um mínimo, se está voltada para cima. É verificável que o referido arco se encontra voltado para baixo, logo tem um máximo, que é o seu topo, só que não se configura uma parábola. Por que então não pode ser considerada tal?

Uma parábola tem suas "pernas" sempre abertas se dirigindo ao infinito não paralelas. O que se observa na estrutura é que as suas "pernas" deixam a inclinação natural em direção ao infinito e ficam em linha reta com o solo. Mais estudos poderiam supor que ao invés de ser parábola, ela poderia ser uma elipse. Isso exigiria mais um pouco de estudos.

Figura 1.2:Diferenças entre Arco e parábola, respectivamente.

Não se sabe qual a intenção do arquiteto que a criou, mas certamente quem pensa que ela é semelhante àqueles gráficos quadráticos que se vê na 8ª (oitava) série, apenas colide com a semelhança, que se perde no rigor matemático. O arco não é uma parábola.

 Figura 1.3:Pernas da parábola indo ao infinito e não paralelas.

=>ARCO CAPAZ

O arco capaz é uma arco que tem a propriedade de ser observado, a qualquer ponto de um  mesmo determinado ângulo escolhido. O da Orla não é um arco capaz, pois não é capaz de proporcionar, a diferentes observadores em nenhum ângulo, a mesma paisagem propiciada. Em outras palavras, se fosse um arco capaz, ele proporcionaria a mesma visão a diferentes observadores em diferentes ângulos.

=> IMAGEM DO POR DO SOL

Em certas épocas do ano é possível deslumbrar, a certo ângulo, um por de sol diretamente no centro desse arco. A figura 1 mostra esse fenômeno quase no seu ápice, sendo infeliz na escolha do ângulo para flagrá-lo no meio. Mesmo assim a vista proporcionada é belíssima, levantando suspeitas de ter sido construído em base da razão divina.

=> RAZÃO ÁUREA

Também chamada de Razão Divina. Número de Outro, Razão Dourada, o número oriundo da divisão de certos tamanhos, propicia uma dos mais incríveis e misteriosos dentro da matemática, o número phi.

Estudado pelos gregos foi fundamental nas construção de vários templos dos deuses na antiga Grécia, como o Parthenon, arquitetado todo dentro dessa razão. Os pitagóricos também gostam dessa razão e estudavam a fio as propriedades desse estranho número, 1, 608..., que é irracional. Ele está presente na natureza através as flores, árvores, animais, furacões, tufões, e também no homem.

O arco parece possuir as mesmas características áureas, nome dado por conta de os gregos a europeus na Idade Média acharem-no divino, obra de Deus.O ângulo de formação dos pés da estrutura se aproxima razoavelmente dessa razão, e sua visão quando o sol descamba também alude ao tal divino número. No entanto mais observações e medições são necessárias a serem efetuadas a fim de que possa se constatar se foram colocados de modo proposital ou apenas uma feliz coincidência.

Ora, como coincidência, podem afirmar alguns. O curioso é que muitas pessoas desenham e fazem obras de arte em cima dessa razão e não sabem. Quando determinada figura, imagem, construção sai-se muito bonita, de modo agradável a os olhos humanos, quase sempre, quando se faz uma análise matemática, resulta no número divino! E mais, é perceptível que o arco fica numa distância que entre o começo e fim da orla cimentada, que se aproxima terrivelmente da razão áurea, isto é, a distância entre o arco e o começo da Orla contando a partir do prédio da Secretaria de Educação, e a distância entre ela o fim da orla, próximo ao bar de Cachoeira, se divididas, maior parte pela menor parte, resultar-se-ia na tão famosa razão citada!

Será o Arco da Orla, uma estrutura divina? Depende dos olhos de quem vê.

Mais detalhes da Equação que descreve o Arco, clique aqui e faça o download em Word do arquivo preliminar que será mais profundamente analisado pelos alunos da 8ª série B da Escola Estadual Dr. Manoel Novaes de Curaçá - BA. Após ir à página direcionada escolha o formato doc e a opção download now, escolha o local de armazenamento ou peça para abrir e pronto, está em posse do artigo.

PRÓXIMO ARTIGO DISCUTIREMOS A MATEMÁTICA EXISTENTE NO PRÉDIO DA BIBLIOTECA MUNICIPAL E O ESTRANHO CILINDRO DE PORTA. Quantos litros de água será que cabe lá?

O Segredo Oculto dos Números Complexos

 

Você sabe qual é a raíz quadrada de -4? Essa aqui, mostrada abaixo?

Ora, quando perguntados qual a raíz quadrada de 4, todos responderiam que seria 2, porque 2 X 2 = 4. Mas o que acontece quando temos uma negativa, como a descrita acima? Veja:

Estranho, quando -2 é multiplicado por ele mesmo duas vezes, fazendo o jogo de sinais, ele fica positivo, diferenciando de -4, que seria o número que deveria dar.

É comum na 9º (nona) série do ensino fundamental (antiga 8º série) alunos se depararem com raízes de números negativos quando estão vendo equações de segundo grau. Geralmente quando chegam nessa parte, alguns professores evitam de se aprofundar no tema e simplesmente dizem a os alunos que não existe raíz de número negativo, e mais comum ainda dizerem apenas raíz, colocando até as raízes cúbicas em demais ímpares, o que é um erro crasso! 

Então, como calcular uma raíz negativa dessas?  Bom, primeiramente, antes de responder, é preciso conhecer alguns fatos importantes, pois este é um segredo oculto do Conjuntos dos Números Complexos, assunto abordado apenas no terceiro ano do ensino médio.

BEM VINDO A OS NÚMEROS COMPLEXOS

Ignorado por muitos séculos como sendo parte banal de alguns cálculos que exigiam raízes negativas, os matemáticos nem se quer perdiam tempo em analisar os famosos complexos, sutilmente apelidados de números fantasmas justamente por não fazerem "sentido". Somente mais tarde, com a pequena menção, mas sem explicações de um artigo publicado pelo matemático Cardano, é que apareceu os temidos e evitados  complexos. Contudo apenas com Raphael Bombelli, outro notável matemático é que não só teve a mesma coragem demonstrada por Cardano, mas também os explicitou introdutoriamente.

Para se ter uma idéia do que estamos falando, há relatos dos cujos números desde a Arithmetica de Diophanto a aproximadamente no ano de 275 D.C, no começo do primeiro milênio que mesmo assim também evitou de falar no assunto, ficando os Números Complexos à mercê da ignorância de tantos séculos e homens que negaram-se a ouvir os gritos de umas das mais importantes classes de números da humanidade. Mais tarde, num estudo das equações de terceiro grau é que praticamente a humanidade viu-se obrigada a admitir os complexos, finalmente reconhecidos. Agora podemos conhecer também esses temíveis números e saber por qual motivo os escondiam bastante.

O QUE É UM NÚMERO COMPLEXO?

Um número complexo é basicamente um conjunto, um corpo maior dos números, maior até mesmo que os conjunto dos números Reais, que praticamente abriga quase a totalidade dos mesmos.Segundo Gelson Iezzy, "chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação" (IEZZY, Gelson, pág. 2, 1998).

"Encara-se assim R como um subconjunto de C", afirma Lipschutz o que é confirmado pelas operações envolvidas nos processos de cálculos algébricos efetuados com esses números. Basicamente escrevemos um complexo algebricamente como Z = a + bi, ou por par ordenado como Z = (a, b) onde a é a parte real e b, a parte imaginária e Z o número complexo.

É perceptível que que a afirmativa de Lipschutz é verdadeira quando o valor de b é zero, pois fica somente a parte real, como o são a maior parte dos números com vemos.

Seja a = 2 e b = 0. Como escrevemos esse número, que é real, em complexo?

Ora,

Z = a + bi, então:

Z = 2 + 0.i

Z = 2

Quando isso ocorre dizemos que o dado número é um Real puro. Mas o que acontece quando b = 0?

Seja a = 0 e b =2

O processo é análago a o anterior

Z = a + bi

Z =  0 + 2i

Z = 2i

Agora dizemos que Z é um imaginário puro.

Quando há os dois valores, com a diferente de b e ambos diferentes de 0, o complexo está completo, assim:

Z = 2 + 2i, 

Que pode até ser a solução daquele probleminha de equação quadrática de delta negativo!

RESOLVENDO RAÍZ DE NÚMERO NEGATIVO 

A o longo dos séculos era impossível resolver esse tipo de equação:

x² + 2x + 2 = 0, porque o valor de delta é menor que 0.

Adequando os valores dos coeficientes e resolvendo a equação, temos:

 

Entretanto, com o advento dos complexos, permitiu-se, assim, que se prosseguisse a operação. Repare bem que - 4 é o mesmo que escrever - 4 = (- 1).4 . Como 4 tem raíz e é 2, extrai-se esse número e - 1 que "não tem" fica dentro da raíz. Convencionou-se chamar essa raíz de - 1 de i, e se colocarmos ele ao quadrado daria justamente um númewro real, donde:

Gerou-se duas raízes Complexas. O curioso é que não foi por causa das equações quadráticas que se empenharam em descobrir os complexos não, mas sim com as equações de terceiro grau!

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

Como qualquer número podemos somar, subtrair, multiplicar e até dividir números Complexos. 



* Adição

Propriedade:
Seja Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d). Z1 + Z2, fica:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), formando um par.


Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 = 7 + i. Determine Z1+ Z2.

Há duas formas de se calcular e uma delas é pelo seu par ordenado. Como vemos, um par ordenado se dá através da separação em parte real e imaginária. Z1 = (3, 4) e Z2 = (7, 1). Somando, fica:

Z1 + Z2 = (3 ,4) + (7, 1) = (3 + 7, 4 + 1) => (10, 5) completando o par ordenado. Também poderíamos fazer direto:

Z1 + Z2 = 3 + 7 + 4i + i => 10 + 5i

* Subtração 

Propriedade:

Seja Z1 = (a, b) e Z2 => (c, d). Z1 - Z2, fica:

(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d), formando um par.

Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 => 7 + i. Determine Z1- Z2.

Fica:

Z1- Z2 = (3 - 7, 4 - 1) => (- 4, 3) ou

Z1- Z2 = 3 - 7 + 4i - i => - 4 + 3i

* Multiplicação
Propriedade:

Seja Z1 = (a, b) e Z2 => (c, d). Z1. Z2, fica:

(a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc), formando um par.

Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 => 7 + i. Determine Z1. Z2.

Fica:

Z1.Z2 = (3.7- 4i.i, 3i + 4i.7) => (21 -(- 4i²), 3i + 28i), como i² = - 1, obtemos:

 Z1.Z2 = (21 + 4, 31i) => (21-4, 31i), que resulta em:

Z1. Z2 = (17,  31i)

Essa forma que acabamos de explicitar é a forma ordenada. Também é possível encontrar o mesmo valor multiplicando pela forma algébrica, assim: 

Z1.Z2 = (3 + 4i).(7 + i)  

Z1.Z2 = 21 + 3i + 28i  + 4i²

Z1.Z2 =  21 - 4 + 31i

Z1.Z2 =  17 + 31i

* Divisão

Propriedades:

Seja Z = a + bi, há um conjugado de mesmo módulo mas de sinal de bi diferente. A esse chamamos de conjugado e se escreve assim:   −Z = a - bi. O conjugado serve principalmente para se efetuar e simplificar alguns números complexos.

Seja Z = 2 + i/3 + i. Determine os valores de a e b do complexo dado.

 Ora é visível que não dá para saber quem é a ou b porque eles estão misturados no numerador e denominador. Antes, porém, é preciso que se separe ele da maneira usual Z = a + bi, mas para fazer isso é preciso dividir, e para dividir é necessário multiplicá-lo pelo conjugado do número de baixo, assim:

Z = (2 + 3i)(3 - i)/(3 + i)(3-i). 

Efetuando a multiplicação, obtemos:

Z = 9 + 7i/10, portanto:

a = 9/7 e

b = 7i/10

Apelidado de Números Fantasmas durante muito tempo, os então hoje conhecidos Conjunto dos Números Complexos conheceram bem o peso do preconceito intelectual.



Forma Polar
 
Muitas vezes não podemos expressar determinados complexos por sua forma algébrica Z = a + bi. Ocorre em inúmeros casos onde Z assume valores com altos expoentes, ou porque é melhor para se aplicar em certas operações matemáticas, sendo mais fáceis de se lidar e manusear.


Podemos determinar como forma polar se ela pode ser escrita na forma Z = p(cosx + isenx), onde p (lê-se rô). p = √a² + b²

Obtemos-no-la através da seguinte demonstração:

Algumas Questões do Enem 2008

Bem, aqui se dará início a uma série de resoluções de algumas das mais interessantes questões de matemática do Exame Nacional do Ensino Médio de 2008, o Enem.

Nesse Enem há diversas questões que direta ou indiretamente, envolvem matemática, mas aqui será postado apenas as mais interessantes ou trabalhosas de resolução. Quem desejar ver outros tipos, seja do ano passado, ou de anos anteriores, basta deixar abaixo um comentário, especificar o ano e cor da prova e o quesito do Enem que deseja. Pode também mandar questões de vestibulares.

Bom, vamos lá!

Começando pela questão 21 da prova amarela. A escolha da prova de cor amarela se dá devido ser esta a cor oficial de correção.

Questão21

O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.

Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a:

A 4 cm2. B 8 cm2. C 12 cm2. D 14 cm2. E 16 cm2.


RESOLUÇÃO:

Repare que a medida do lado AB da figura 2 mede exatamente 2cm e que todas as figuras, (1, 2 e 3) possuem as sete figuras geométricas que formam o tangran. Claro que a figura 1 é a mais fácil de se calcular uma área, pois esta é um quadrado perfeito, mas antes, é preciso saber sua medida de lado. Repare na figura a seguir que o quadrado e o triângulo que unidos resultam em 2cm estão marcados de vermelho, que é justamente metade do quadrado (figura 1).

Chamando de "l" as medidas do quadrado, que não sabemos ainda, e de 4 a diagonal total (existem duas partes iguais a 2), pelo Teorema de Pitágoras fica:

a² = b² + c²

4² + l² + l²
16 = 2l²
2l² = 16
l² = 16/2

l² = 8

Ora, como a medida da área de um quadrado é o quadrado de seu lado, A = l²
temos que:

A = 8
Respota B

QUESTÃO 16

O sistema de fusos horários foi proposto na Conferência Internacional do Meridiano, realizada em
Washington, em 1884. Cada fuso corresponde a uma faixa de 15º entre dois meridianos. O eridiano de Greenwich foi escolhido para ser a linha mediana do fuso zero.

Passando-se um meridiano pela linha mediana de cada fuso, enumeram-se 12 fusos para leste e 12 fusos para oeste do fuso zero, obtendo-se, assim, os 24 fusos e o sistema de zonas de horas. Para cada fuso a leste do fuso zero, soma-se 1 hora, e, para cada fuso a oeste do fuso zero, subtrai-se 1 hora. A partir da Lei n.° 11.662/2008, o Brasil, que fica a oeste de Greenwich e tinha quatro fusos, passa a ter somente 3 fusos horários.
Em relação ao fuso zero, o Brasil abrange os fusos 2, 3 e 4. Por exemplo, Fernando de Noronha está no fuso 2, o estado do Amapá está no fuso 3 e o Acre, no fuso 4.
A cidade de Pequim, que sediou os XXIX Jogos Olímpicos de Verão, fica a leste de Greenwich, no fuso 8.

Considerando-se que a cerimônia de abertura dos jogos tenha ocorrido às 20 h 8 min, no horário de Pequim, do dia 8 de agosto de 2008, a que horas os brasileiros que moram no estado do Amapá devem ter ligado seus televisores para assistir ao início da cerimônia de abertura?


A) 9 h 8 min, do dia 8 de agosto.
B) 12 h 8 min, do dia 8 de agosto.
C) 15 h 8 min, do dia 8 de agosto.
D) 1 h 8 min, do dia 9 de agosto.
E) 4 h 8 min, do dia 9 de agosto.

RESOLUÇÃO

Essa é a típica questão que exige bastante atenção e uma boa leitura e também ,por isso ,carrega uma pequena casca de banana nela.
Considerando que Greenwich é o marco zero, e que todo meridiano contado à direita soma-se 1 hora, e que todo meridiano contado à esquerda subtrai-se 1 hora, e que Pequim está a 8 fusos á direita (leste em relação a Greenwich), e que o Amapá está a 3 fusos à esquerda de Greenwich (à oeste), fazemos:

8 + 3 = 11, o que corresponde a 11 horas, que não é o suficiente para dar mais de um dia.
Como os jogos começariam às 20h e 8 min do dia 8 de agosto de 2008, e que seu local de realização está à direita do Amapá, contanto de Pequim até o Brasil, isto é, para oeste, subtrair-se-ia os valores, assim:

20h e 8 min - 11h = 9h e 8 min do dia 8 de agosto de 2008.

ALTERNATIVA A

QUESTÃO 33

A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então

A M(x) = 500 + 0,4x.
B M(x) = 500 + 10x.
C M(x) = 510 + 0,4x.
D M(x) = 510 + 40x.
E M(x) = 500 + 10,4x.

RESOLUÇÃO

Essa é a típica questão de função do primeiro grau tipo y = ax + b

Sabemos, pela figura do boleto bancário, que há um valor constante, que não se altera se houver um atraso, que é de R$ 500,00 + multa de R$ 10,00, o que nos dá um total de R$ 510,00 constante, que tem de pagar de qualquer forma. Como ainda há 40 centavos de multa por atraso por dia, fica:

y = 510 + 0,4x

ALTERNATIVA C