A Natureza Musical nas Obras Matemáticas

Mozart, Beethoven, Bach, Vivaldi entre outros tantos compositores enriquecem a alma humana com suas lindas obras musicais. Entretanto uma bela canção começa mesmo com uma boa matemática. As notas musicais, seus tempos e escala obdecem regras matemáticas muito bem definidas e que auxiliam no processo criativo e memorizável delas. Quem diria que podem escrever música? Como escrever algo que simplesmente se ouve? Parece, à primeira vista, difícil de se conceber, mas é justamente o que ocorre com as chamadas partituras.

Mais além ainda  vai o imaginário humano: Compondo  ele trancede a nobre capacidade de apenas nascer, crescer, se "desenvolver", envelhecer e morrer. Ela recria um sentimento que se concebe dentro da alma, vai crescendo e assumi um papel totalmente fora da vidinha que muitos têm por aí, ele sabe, neste momento, que viver é uma arte e viver bem, a mais bela das artes e que esta pode ser conhecida mediante uma bela cançao ouvida e tocada!

A construção das músicas são mais complexas do que se pode supor com uma pequena observada. Embora muitos tenham talento nato para criar e recriar, há tanto nas melodias ainda por se descobrir que se torna inesgotável as possibilidades de mais criações. Se valendo disso muitos matemáticos ao longo da história se beneficiaram do teor musical para inspirarem-se em suas obras, isto é, em suas descobertas numéricas. Um deles foi o grande físico Abert Einstein que amava tocar e ouvir violinos entre outros instrumentos de música clássica. Também vale destacar que foi um grande matemático, Pitágoras, um dos pioneiros no estudo dos tempos musicais

Interessnate que os matemáticos dizem que Deus fala por números, mas os músicos dizem que Deus se faz ouvir por músicas e não por palavras, nem muito menos por números. Não obstante o que se observa é que ambas áreas do cohecimento, apesar de possuirem definições distintas, por muitas vezes esbarram em algo incomum. Em outras palavras a música constituir-se-ia numa forma musical de números, ou a matemática numa forma numérica musical. O fato é que a Teoria dos Números e dos Conjuntos Numéricos auxiliam os músicos no entendimento de sua arte; sequencias como a de Fibonacci são intrínsecas e a Razão Divina também encanta os criadores de melodias. De fato esta é abstrata, mas nada é tão abstrato quanto à própria matemática, afinal de contas ela é concebida no ventre do cérebro de alguém e provoca tamanho prazer e bem estar quanto a qualquer beijo ou sensação agradável. 

Há uma razão para existir ambas as ciências - Matemática e Música - talvez para explicar o funcionamento do Universo, quiçá desvendar os mistérios do cérebro, ou também apenas simplesmente deixar a vida dos mortais humanos com mais sentido e agradável de se viver!

Escuta aí essa bela Canção, o Canon

Coordenadas Polares - O que são?

Muito usadas no Ensino Superior, as Coordenadas Polares ainda são pouco conhecidas, principalmente no Ensino Médio, e menos ainda suas aplicações.

Bom, comecemos por dizer o que são coordenadas Polares:

Como o próprio nome já diz são um tipo de notação de coordenadas que se colocam num plano bidimensional, como um tipo especial de plano semelhante ao Cartesiano, só que utiliza outros parâmentros. Usando uma definição mais matemática, poder-se-ia dizer que é um plano de coordenadas (r, θ),sendo r = raio e θ = a um ângulo qualquer, aplicadas sobre um plano, conhecido com pólo (origem) equivalenmte ao eixo x nas coordandas cartesianas. Uma vez escolhido o raio que se quer, traça-se na direção do ângulo θ uma semi-reta (raio), assim:

Figura 1.a: Representação de coordenada polar no plano

Ora, para plotar uma determinada coordenada basta inserir seus valores nos respectivos eixos, isto é, seja a seguinte coordenada (1, π/3), no gráfico ela fica:

Figura 1.b: Par ordenado (1, π/3) em coordenadas polares 

OBS: É importante verificar em qual notação está se usando os valores para θ. Normalmente utiliza-se a notação em radianos, isto é, ao invés de dizer que um ângulo tem 60º, diz-se que ele tem π/3rad, que é o seu correspondente em radianos.


Esse intricado sistema foi desenvolvido por Isaac Newton para facilitar alguns cálculos matemáticos. Apesar de ainda não ser amplamente conhecido o sistema oferece uma nova abordagem sobre gráficos e funções apresentando contornos curiosos. Por exemplo, veja plotagem da função r = 1 + senθ

Figura 2: Crardióide

De modo análogo ao que ocorre nas coordenadas cartesianas, em que se atribuem valores à funções para se obter o gráfico, também o é em coordenadas polares. Observemos abaixo alguns valores

θ        r = 1 + senθ                        (r, θ)

0        r = 1 + sen0                         (1, 0)
π/6     r = 1 + senπ/6 => 1 + 1/2     (3/2, π/6)
π/4     r = 1 + senπ/4 => 1 + √2/2   (1 + √2/2, π/4)

π/3     r = 1 + senπ/3 => 1+√3/2     (1 + √3/2, π/3)
π/2     r = 1 + senπ/2 => 1 + 1        (2, π/2)
.
.
.
E assim sucessivamente. Uma vez encontrados os valores é só plotar, como no exemlo anterior e juntar os pontos. Foi dessa forma que nasceu a nossa bela Cardióide acima, nome esse dado por assemelhar-se a um coração.

Por exemlo podemos calular uma rosa de n pétalas. Seja r = 1 - 3cos(10θ), o resultado será uma rosa de 20 pétalas, veja:

Figura 3: Rosácea de 20 pétalas

Essa plotagem torna-se muito trabalhosa se feita na mão bruta, então é melhor usar programas que desempenhem funções matemáticas mais complicadas, como na imagem acima. Neste caso foi utilizado o programa Wimplot, mas há dezenas de outros que tem a mesma finalidade. Com o uso desses programas é possível inventar uma infinidade de gráficos de diversos tipos, fazer comparações, estudar sinais, derivadas, áreas, volumes, comprimentos entre outros cálculos.

Uma pergunta naturalmente surge: E se fosse em coordenadas cartesianas, como ficariam essas coordenadas?
Para responder a essa pergunta é necessário irmos para o plano. Seja o plano abaixo

Figura 4: Coordenada polar (r, θ)

Pela relação trigonométrica sabemos que

senθ = x´M´/r (Equação I)

cosθ = ox´/r     (Equação II)

Donde

x´M´= y    
e

ox´= x, onde x e y é o par ordenado, (x, y).

Substituindo nas equações I e II, temos:

senθ = y/r => y = rsenθ

cosθ = x/r => x = rcosθ 

Por Pitágoras fica:

r² = x² + y²

Que são as respectivas fórmulas para se transformar coordenadas polares em cartesinas e vice-versa.

Seja o par ordenado (1, π/3) da figura 2, podemos transformá-la em coordenadas polares aplicarndo as fórmulas descritas acima, assim

y = 1sen(π/3)

y =  √3/2

e

x = 1cos(π/3)

x = 1/2

Então fica (1/2, √3/2)

No gráfico fica:

Figura 5: Gráfico Cartesiano

Por fim no Winplot podemos vislumbrar lindas figuras como a seguir

Figura 6: Várias funções na construção dos gráficos

Certamente criações como estas revelam quão linda e fascinante é o mundo da matemática. Além das coordenadas polares existem as coordenadas implícitas, explícitas e paramétricas no plano bidimensional (x, y) adicionadas às esféricas e cilidnricas no tridimensional (x, y, z).

A Equação de Brizola

Assembléia Legislativa lotada. Nela há deputados de todos os níveis discutindo, mais uma vez, o destino e as regras da sociedade através de Portarias, Decretos e Leis. Numa delas um impasse: Um terrível conflito de votos e a dúvida de um suposto empate, colocando um voto, o do desempate, nas mãos de um Sistema de Equação do I grau. Mentira? História hipotética? Não, foi justamente isso que ocorreu na Assembleia Legilstaiva de Porto Alegre, RS.

Num gesto inédito na política brasileira, o Deputado Leonel Brizola, utiliza-se de dotes matemáticos para resolver um conflito de idéias.

Tudo começou quando foi rejeitado, pela mesa julgadora do Rio Grande do Sul, o provimento do cargo de Vice-Governador através de voto indireto por 36 votos a 15. Ora, se arranjando no art. 249, em seu parágrafo 3^o, da Constituição do Estado (Rio Grande do Sul), Leonel Brizola argumenta que a decisão fora ilegal, uma vez que pela mesma Lei acima descrita, era preciso 2/3 dos votos para sagra-se legal. Sabendo que havia 55 Deputados, sendo que o do Presidente da Mesa só é usado em questões de desempate, o então Deputado Trabalhista Leonel Brizola, argui que ocorrera, de fato, um empate. Como assim, não foram 36 votos a 15?

Bem se analizado criteriozamente pelo leitor, 2/3 dos 55 votos totais são em torno de 36, 66... sabendo que seria "impossível" haver empate numa ordem fracionária de 2/3 os outros Deputados naturalmente discordaram do nobre colega, o que obrigou-o a utilizar-se de um poderoso artifício matemático. 

"Convenhamos, porém que apenas 54 deputados votam efetivamente em plenário pois que o Senhor Presidente cabe o voto de desempate, ou mais precisamente, o Senhor Presidente deve votar apenas quando o seu voto for decisivo. Ora sob a base do critério dos dois terços, quando deveria caber o voto de desempate? Respondo: Precisamente quando se verificar em plenário o resultado 36 x 18. E ainda toda vez que um dos grupos obtenha 36 votos, o número de votos do outro poderá variar desde 0 até 18, e para qualquer valor (entre tais limites) ainda haverá empate, desde que se tenha em vista que um único voto poderá alterar decisivamente a votação. Portanto, o voto emanado da cadeira presidencial, tal como para o critério da maioria absoluta – 27 x 27 – é decisivo e, indubitavelmente, de desempate. Pois se o Senhor Presidente, manifestar-se favorável, ao grupo dos 36, este alcançará maioria de dois terços" Disse Brizola.

O que o nobre Deputado queria dizer é que era possível ocorrer sim o empate no critério de 2/3, como rezava a mencionada Lei Estadual, e mais, que os 36 votos não eram suficientes para a vitória. Então, a fim de provar o que dizia, fez do seguinte dote matemático, em suas palavras:

"Considerando que a Assembléia compõe-se de 55 membros e que apenas 54, como afirmei, votam efetivamente em plenário, será fácil demonstrar em que condições deverá ocorrer o empate, dentro do critério de dois terços. Chamemos de x o número de votantes do grupo maior e y o número componente do grupo menor, grupos que somados deverá perfazer 54. Ora, para que ocorra um empate, deveremos ter:

obtemos, desse modo, uma equação com duas incógnitas. Sabemos que a soma das incógnitas x+y é igual a 54. Podemos pois escrever o seguinte sistema:

	x + y = 54

que resolvido nos dá:

x = 36
y = 18

Pela equação cima descrita, o Deputado usou a matemática como uma poderosa argumentação de sua tese, para isso era preciso que os 2/3 = 1/3, o que somados dão 1 inteiro, pois 1/3 + 2/3 = 1, isto é, a os votos da Assembléia inteira. Como a maioria figurava "X" e a minoria "Y", dever-se-ia encontrar algo que provasse que a maioria era igual a minoria, por isso 1x/3 = 2y/3. Como o total deveria ficar nos 54 votos, pois segundo o nobre Deputado o último e decisivo voto deveria ficar com o Presidente, o total de x + y, isto é, a maioria + a minoria, deveria ser igual a 54, assim havendo empate a este que deveria  a honra do desempate. Como já foi visto no resultado do Sistema de Equação, x = 36 < 36,666... e y = 18, ocorrera, de fato, um empate. Como assim? Se substituir 36 na equação de "x" e 18 na equação de "y", verificar-se-á que há, de fato, um empate.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 MATEMÁTIVA HOJE - CURIOSIDADES. Disponível no site:http://www.matematicahoje.com.br/telas/cultura/curiosidades/curiosidades.asp?aux=J . Acesso: 1 de jan. de 2010. 

Clique aqui para ir ao site que originou este artigo.

ANÁLISE CRÍTICA

Bom é preciso muita cautela para compreender matematicamente a idéia do raciocínio de Brizola. De fato notável argumentação, mas toatlmente tendencionista. O que fez o nobre político foi manobras matemáticas que o apoiassem em sua tese. Valendo-se de uma possível ignorância  matemática dos Deputados  ali presentes, pois este era enhenheiro, utilizou-se de um sofisma, isto é, uma prova matemática aparentemente rigorosa, mas que na verdade contém erros crassos. Neste caso o erro não consite no cálculo, mas ao raciocínio que leva a isso.

Quando ele fala em maioria, pode prestar atenção o leitor, que usa o termo "x" para tal demonstração, mas o "x" fica com os 1/3, que é a menor parte, não a maior. Outra manipulação foi a igualdade. Não é possível que 1/3 seja igual a 2/3, pois ambas utilizam-se da mesma variável "x", sendo desnecessário o uso de duas variáveis, "x" e "y". O "y" fora colocado para mascarar a variável que era uma só, no caso o "x". Em outras palvras, o que estva em jogo eram os votos. Se "x" fosse a maioria deveria ter sido colocado em 2/3 e "y" em 1/3. A única razão que ele tinha era que os 2/3 não haviam sido alcançados, o que de fato é de fácil comprovação matemática.

Porém um empate era pedir de mais, mas utilizar-se de matemática nas questões parlamentares, políticas e quaisquer que sejam é plausível, afinal de contas é para isso que serve a matemática, para resolver questões de interesse cotifdiano ou não. Uma solução gráfica é atendida, mas o dados desta estariam incorretos. Pelo raciocínio empregado, qualquer que fosse o número "n"de Deputados ele utilizar-se-ia de uma sofisma ou até mesmo uma solução real, para a dada questão, pois ele igualaria a partes fracionária e claro pelo Sistema de Equações encontraria algum tipo de solução. Nada mal para ser tratado numa Câmara de Deputados onde um raciocínio matemático dessa estirpe necessitaria de um dado tempo de uma maioria que possivelmente não foi bem na escola em matemática.

Discordância no argumento aqui apresentado de discordância ao método do Senhor Brizola, por favor postar no comentário. Uma boa discussão certamente enriqueceria bem o tema.

Obrigado!

A 4ª Dimensão - Matemática X Física

O que os físicos agora descobriram há muito que os matemáticos já sabiam. Do que se trata? Das inúmeras dimensões!

O mundo ao nosso redor é constituído de 3 dimensões - comprimento, largura e altura/profundidade. Pois bem a idéia que durante muito tempo se saia bizarra é que podem existir mais uma dimensão, uma quarta ao qual popularemente ficou conhecida como tempo. Seu maior expoente , o físico alemão Albert Eisntein o provou através de cálculos matemáticos, mas até que ponto  a sua descoberta tem a ver com essa relação matemática? Pode parecer meio complicado de mais de se entender, mas não é bem assim quanto se pensa não!

Figura 1: Hipercubo - Tentativa gráfica 4D

Uma função de várias variávies como f(x, y, t, z, ...n), pode assumir quatro ou mais variáveis, que aqui denominamos de x, y, t, z  e mais outras que se queira colocar, n. Até f(x,y) podemos colocar no gráfico, mas a situação se complica quando tentamos colocar f(x, y, z, t, ...) ou mesmo f(x, y, z). Porquê? Por que necessitam de mais um eixo perpendicular a os três já existentes, x (abcissas), y(ordenadas) e z(cota). Nossos sentidos e persepção não conseguem captar tal dimensão extra nem muito menos esboçá-la num papel em 2D.

O vídeo presente no link a seguir mostra essa relação. Clique aqui e veja: Entendendo a IV Dimensão

Entendendo a Trigonometria

Do grego "triângulo mais metron (medida)" a trigonometria é um ramo da matemática que estuda os triângulos e suas razões com os ângulos. Sua utilidade é vasta e sem dúvida é uma das mais requisitadas e estudadas áreas da matemática pelo seu grande número de serventias à outros campos.

Uma forma bastante fácil de se compreender a Trigonometria é a partir do triângulo Retângulo, ao qual possibilita trabalhar com alguns ângulos. Dele podemos suscitar hipóteses e conclusões que auxiliarão em muito a compreensão não só da sua relação com a geometria, mas também com as funções.

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Quando se fala em trigonometria certamente também se está falando em ângulos. Uma forma prática de se conhecer as relações que existem entre eles é a partir de suas razões: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

* SENO

Diz-se que o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto de uma triângulo retângulo por sua hipotenusa.

Seja o triângulo retângulo ABC, de lados a, b, c com hipotenusa a abaixo:

Figura 1: Triângulo Retângulo ABC e sua relação com o seno

* COSSENO
O cosseno de um ângulo é a razão entre seu cateto adjacente por sua hipotenusa. Este processo é análogo ao anterior. Seja o triângulo retângulo ABC, de lados a, b, c com hipotenusa a abaixo:

 Figura 2: Triângulo Retângulo ABC e sua relação com o cosseno

*TANGENTE
A tangente é a relação entre o seno e o cosseno de um determinado ângulo, ou ainda pode ser definida como a razão entre o cateto oposto de um ângulo pelo seu cateto adjacente. Análogo à figura anterior, fazemos:

O restante das relações, como cotagente, secante e cossecante serão oruindas das já vistas figuras 1 e 2.

* COTANGENTE

A cotangente mostra-se ser a razão entre o cosseno de um dado ângulo pelos seu seno, sendo, portanto, o inverso da tangente. Pode ser escrita assim:

* SECANTE

A secante é o inversa do cosseno, isto é,

* COSSECANTE

A cossecante é o inverso do seno, assim:

ÂNGULOS NOTÁVEIS

Existem alguns ângulos que são notáveis, isto é, se destacam dentro da gama de 360 ângulos que há. São eles, 30º, 45º e 60°, com seus respectivos múltiplos, ou côngruos com pequenas variações nos sinais, a depender de que quadrante se encaixam. Não está entendendo que história é essa de quadrante? Não se preocupe, aqui mostraremos do que se trata, mas antes vamos às relações que demonstram como surgiu os seno e cosseno desses ângulos. Vê-se que claramente não é preciso se calcular os valores da tangente, cotagente, secante e cossecante, umas vez que essas razões dependem apenas do seno e cosseno.

ÂNGULO DE 30°

Seja um triângulo eqüilátero de lados a, b e c, iguais, conforme figura abaixo. Por definição sabe-se que 
a = b = c. Dividindo esse triângulo ao meio numa altura h, um dos ângulos resultantes será 30º e os outros 60 º e 90º.

  Figura3: Triângulo equilátero

Seno

Como o sen30º = b/2/a,  e b = a, fica:

 

Cosseno

Como cos30º = h/a, é necessário encontrar o valor de h:

Por Pitágoras temos:

Donde,

Tangente
A tangente pode ser obtida como o quociente entre  sen30º/cos30º, ou na razão entre o cateto oposto pelo cateto adjacente, isto é, tg30° = a/2/h, donde,

Cotangente
A cotangete pode ser obtida através da razão inversa da tangente, isto é, cot30º = 1/tg30º, assim:

Secante
A secante consiste na razão inversa do cosseno, isto é, cosc30° = 1/cos30°. Fica:

Cossecante
O cossecante é a razão inversa do seno, isto é, cosc30° = 1/sen30°, assim:

Por processo análogo, encontramos os seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de 45°e 60° ou quaisquer outros graus, notáveis ou não. Deve-se colocar uma observação no ângulo de 45° que deverá ser demonstrado por outro tipo de triângulo distinto do da figura 3. Neste caso seria mais expressivo usar um triângulo retângulo isósceles, já que possui dois lados iguais e dois ângulos de 45°.



ANGULO DE 45°
Seja um triângulo isósceles com b = c ,abaixo, :

Sabemos que:

Seno 
O sen45° = c/a <=> b/a, a o que obtemos:

O seno de 45° é justamente igual a o seu cosseno já que os catetos oposto e adjacente são iguais, isto é:

Tangente
A tangente pode ser obtida como a razão entre o  cateto posto e o cateto adjacente, isto é, tg45° = b/b => 1 ou pelo quociente entre o sen45° e o cos45°, assim:

Cotangente
 Cotg45° =  1/tg45°
Cotg45° = 1




Secante
Sec45° = 1/cos45°, ou seja:

Cossecante
Cosc45° = 1/sen45°,donde resultará no mesmo valor anterior da secante, isto é:

As demais demonstrações angulares ficam a cargo do leitor que poderá fazê-lo como exercício do exposto aqui.

Todas as razões apresentadas anterioremente também tem comportamentos distintos quando inseridos nos gráficos constituindo-se, portanto, funções trigonométricas. Cada função tem um campo definido de seu domínio e a depender do sentido de rotação podem ser positivos ou negativos.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Ainda em construção...