Geometria Analítica: Reta e Plano

Apresentaremos agora uma breve noção do que é a Geometria Analítica aplicada ao Plano e a Reta do R³ aliado ao conceito de vetores e suas características mais usuais.


1. APRESENTAÇÃO DO PLANO OXYZ.

Pouco se fala, em nível médio, sobre coordenadas em três dimensões. Geralmente o que se aplica nesse nível se baseia no R², i.e, em duas dimensões simbolizados pelas retas x (abcissas) e y (ordenadas) colocadas perpendicularmente uma a outra cujas coordenadas são dispostas em diversos pontos nesse espaço, como por exemplo aos pontos P(2,3) e Q(3,2), pertencentes a esse espaço. Contudo, aqui, exploraremos essas mesmas propriedades a nível de três dimensões, ou seja, agora além de "x" e "y" teremos também "z" (cota), perpendiculares entre si, como na figura: 

Fig. 1: Plano Oxyz

Pela figura 1 vemos como estão distribuídos alguns pontos no plano. Temos o ponto P1 de coordenadas (x, 0, 0), por isso marcado apenas no eixo das abcissas. Também os pontos P2 e P3. O ponto Q0 já possui valores para x, y e z, que são representados por   x´, y´e z´, ambos pertencentes a Oxyz com x < x´, y< y´e z < z´ na parte positiva do plano. Lembre-se de que O é a origem. 

Quando dados os pontos, os valores de x´, y´e z´ terão valores numéricos reais. Por exemplo, o ponto Q poderia ter coordenadas Q (1, 2, 3).

2. VETORES

2.1 IDENTIFICAÇÃO DE VETORES

Um vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado. Em matemática pode ser um ponto, à partir da origem, ou o segmento de reta definido entre dois pontos com tamanho, direção e sentido. Ver figura 1.1:

Fig. 2.1: Vetor u = B - A definido pelos pontos A e B

Quando um segmento de reta é delimitado por dois pontos quaisquer, como na Fig. 2.1, identificamos o vetor como a diferença entre os pontos, ou seja, o vetor u = B - A, i.e., u = (x0 - x, y0 - y). O seu comprimento pode ser obtido através do |u| (módulo de u), que se escreve assim, |u|² = (x - x0)² + ( y - y0)², ou

                                              

Além disso um vetor u por exemplo, pode ter seu tamanho reduzido ou ampliado através de um t qualquer pertencente a os Reais. Se t < 1, teremos uma redução, se t > 1, teremos um ampliação. Se t < 0. teremos uma mudança de sentido, isto é, o se o vetor u aponta para a direita, depois de multiplicado por esse t, ele inverte o seu sentido mudando para a esquerda. Essa mudança pode ser maior do que o vetor u original ou menor que ela, com t > -1 ou t < -1, respectivamente. Se t = 1 ou t = -1 não houve mudanças no tamanho. 

Fig. 2.1.2: Vetor tu, com t > 1. Observa-se que nesse caso o vetor u teve um aumento de t vezes o seu tamanho

OBS: Um caso interessante

Quando, dado dois vetores, um é perpendicular ao outro, o produto interno entre ambos é zero, ou seja um número real. Seja u, v vetores tal que u.v = 0. Sendo u = (a, b) e v = (c, d), temos:

u.v = ac + bd = 0

Por exemplo. Os vetores x = (1,0) e y = (0,1), são, na verdade, os eixos "x" e "y" do plano do R². Veja que o eixo x = (x, 0), pois dados dois pontos de x, seja O = (0,0) e B = (x, 0), temos que o vetor x = B - O:

x = (x, 0) - (0,0)

x = (x, 0)

 De modo análogo temos que e y = (0, y), pois sendo O = (0,0), C = (0, y), pontos de y, temos que y = C - O, ou seja

y = (0, y) - (0, 0)

y = (0, y)

Dando um tamanho inicial a eles, seja x = 1 e y = 1 unidade qualquer, temos x = (1,0) e y = (0,1). Então:

x.y = (1, 0).(0. 1)

x.y = 0 + 0

                            x.y = 0.                       (i)

Logo os eixos "x" e "y" são perpendiculares entre si.

2.2 ÂNGULOS ENTRE VETORES

Dados dois vetores u, v não nulos e não colineares, isto é, um não é múltiplo do outro, podemos identificar um ângulo β entre eles. Comecemos falando da desigualdade Cauchy Schwarz .

2.2.1 Desigualdade Cauchy Schwarz 

Seja u, v vetores não nulos. Para qualquer α ϵ R, temos:

(u + αv)(u + αv) ≥ 0

Efetuando o produto escalar:

u.u + u(αv) + u.(αv) + α²(v.v) ≥ 0

α²|v|² + 2α(u.v) +|u|² ≥ 0

É fácil observar que temos aqui uma equação de grau II em função de α. Como α² > 0 e u, v ≠ 0, calculando o ∆ da equação de II grau, fica:

∆ = b² - 4ac ≤ 0

(2u.v)² - 4|v|².|u|² ≤ 0

4(u.v)² - 4|v|².|u|² ≤ 0

(u.v)² ≤ |v|².|u|²

Considerando u.v > 0, temos:

|u.v| ≤ |u|.|v|       ( I )

2.2.2 Usando o cosseno para encontrar o ângulo entre dois vetores. Ver figura 2.2.1

Pela equação (I), temos:

  |u.v|    ≤ 1  =>          | |u.v|   | ≤ 1

|u|.|v|                        | |u|.|v||

  -1 ≤ | |u.v|   | ≤ 1. Como temos  0 ≤ β ≥ π, fica

           | |u|.|v||

cosβ =    u.v           (II)

           |u|.|v|

Fig. 2.2.1.: Os  vetores u e v em ângulo beta.

2.2.3 Provando (i)

De posse de (II), podemos encontrar qualquer ângulo entre dois vetores. Provemos, por exemplo, (i):

Como o eixo "x" (abcissas) faz 90° com o eixo "y", temos:

COS(90°) =     x.y    

                     |x||y|

x.y = |x|.|y|.cos90°

x.y = |x|.|y|.0

x.y = 0

Como queríamos demonstrar 

2.3 PRODUTO VETORIAL

Dados dois vetores, u e v podemos determinar um vetor  w tal que u e v seja perpendicular a w. Logo temos que  u.w = 0 e v.w = o. Ver figura 2.3

Fig.2.3. : Vetores u., v perpendiculares ao vetor w.

Seja u = (a. b, c), v = (d, e, f) e w = (x, y, z). Como u.w = 0 e v.w = 0, temos:

(a, b, c).(x, y, z) = 0 e (d, e, f).(x, y, z) = 0

ax + by + cz = 0

dx + ey + fz = 0

Então, como possível solução:

x = bf - ec

y = dc - af

z = ae - db

Fica:

w = ( bf - ec,  dc - af, ae - db) (III)

Logo w é o produto vetorial de u por v e se escreve assim: u x v.

Na observação do item 2.1, vimos que podemos escrever os eixos "x" e "y" como (1, 0) e (0, 1). De forma análoga a apresentada em 2.1 escrevemos o eixos em R³ como x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0) e z = (0, 0, 1). Chamando de i, j e k respectivamente x, y e z a combinação linear entre tais eixos resultam no total espaço R³.

Seja (x, y, z) ϵ R³. Então:

(x, y, z ) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) +z(0, 0, 1)

(x, y, z) = xi  yj + zk. 

Para memorizar tratemos a combinação linear acima como um determinante de terceira ordem:

Resolvendo o determinante, temos:

= ( bf - ec)i - (af - dc)j +  (ae - db)k

= (bf - ec, dc - af, ae - db), como em (III)

3. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Seja o eixo OXYZ  a seguir:

Fig. 3. : Representação da distância PQ

Pela Fig. 3, observamos a distancia do ponto P ao ponto Q. Veja que por Pitágoras, temos as seguintes relações:

PQ² = SP² + SQ²  ( * )

SQ = (z - z0)

PS = P0Q0

(P0Q0)² = HP0 + HQ0 

(P0Q0)² = (x - x0)² + (y - y0)²

PS² = (x - x0)² + (y - y0)²

Em ( * ), vem:

PQ² =  (x - x0)² + (y - y0)² +  (z - z0)². Logo: 

4. EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA

Claro que falando de distâncias vem logo à mente as retas. E como seriam as equações das retas no R³? Bom, podemos obtê-las de uma maneira mais bem geral que no R². Mais uma vez vamos apelar para uma figura para entendermos melhor coo funciona.

Fig. 4: Reta r paralela ao vetor v

Pela Fig.4, um ponto P(x, y, z) pertence a r se AP = tv, para t ϵ R. Veja que AP é o vetor v, ou alguns de seus múltiplos, deslocado. Seja A(x0, y0, z0) e v = (a, b, c). OBS.: Não confundir A e P, que são pontos, como v, que é o vetor.

Temos AP = (x - x0, y - y0, z - z0).

Como sabemos que AP = tv, fazemos:

(x - x0, y - y0, z - z0) = t(a, b, c)

Veja que:

x = x0 + at

y = y0 + bt }   ==> r          (**)

z = z0 + ct

Que é a equação paramétrica da reta.

4.1 Exemplo.

Encontre um ponto pertencente à reta que contém o ponto A(2, 1, -3) e é paralela a os vetores v = (3, -2, 2).

#RESOLUÇÃO

Por (**), temos que:

x = 2 + 3t

y = 1 - 2t    } ==> r

z = -3 + 2t

Como t é qualquer real, atribuímos um valor a t. Seja t = 1. Então fica:

     x = 5

r: {y = -1

     z = -1

5. PLANO

O R³ guarda fascinantes objetos matemáticos, como por exemplo o plano interagindo com outros elementos. O que seria então esse plano? Como o próprio nome já diz, podemos obter um plano a partir de pelo menos dois vetores, mas precisamos de pelo menos três para encontrar sua equação. Algebricamente falando se os vetores u, v e w não são múltiplos entre si acabam gerando o R³, i.e, (x, y, z) ϵ R³ => (x, y, z) = . u + v + w. Veja que (x, y, z) = a(x, 0, 0) + b(0, y, 0) + c(0, 0, z) com a = b = c = 1 e a, b e c ϵ  R.

5.1 Equação do Plano

Mais uma vez recorramos a uma figura para entender melhor o que se segue. Ver figura 5.

FIG. 5: Plano  π  

Seja A(x0, y0, z0), B(x, y, z) e o vetor n = (a, b, c). Temos:

u = B - A = > u = (x - x0, y - y0, z - z0)

Como u ┴ n:

n.u = 0


(a, b, c)(x - x0, y - y0, z - z0) = 0

ax + by + cz - ax0 - by0 - cz0 = 0

Fazendo a expressão em negrito igual a d, ou seja, d = - ax0 - by0 - cz0, fica:

ax + by + cz + d = 0. Logo 

Equação Geral do Plano

π: ax + by + cz + d = 0

Se dois Planos se interceptam o resultado será uma reta.

5.2 Equação Paramétrica do Plano

Fica ao leitor tentar deduzir a Equação Paramétrica do Plano. Usando os conceitos de definição de vetor e de retas é possível obter o resultado.

6. CONCLUSÃO

Não se pretendeu de maneira aqui esgotar o assunto. Na verdade muitas coisas foram omitidas ao leitor, como algumas provas e demonstrações mais rigorosas. Doravante é essencial agora que se ponha em prática o exposto resolvendo muitas atividades. Espero poder ter ajudado um pouco no entendimento.

Se alguma coisa ficou obscura, não clara ou algum possível erro, por favor, não exite em me comunicar, pois estarei de prontidão e honrado em corrigir.

7. REFERÊNCIAS

REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. GEOMETRIA ANALÍTICA. Rio de Janeiro: LTC, 1984.

LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2011. (Coleção Matemática Universitária)

LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear - Teorias e Problema. São Paulo: Perason Makron Books, 1994. (Coleção Schaum)

Aqui jaz Educação Matemática de Qualidade

"ALUNOS DE CONHECIMENTO MÉDIO NÃO PASSAM EM MINHAS PROVAS"

Frases como essas são muito comuns em salas de aula de Universidades em todo o Brasil. O Ensino Médio público passa, sem sombra de dúvidas,  por uma de suas maiores crises, e esse fato vem se acentuando devido a entrada cada vez mais maciça de alunos de escolas públicas pelo SISU (sistema de seleção que avalia e promove ao Ensino Superior através do Enem) nas IES. É mais impressionante ainda a qualidade baixa do ensino matemático que se vem praticando, desde o Ensino Fundamental I ao Superirior!

Em aulas ministradas pelo Professor Elon Lajes Lima, do Instituto de Matemática Aplicada do Rio de Janeiro, IMPA, especialmente falando sobre a Análise da Reta no R^n, o professor é claro ao relatar alguns erros matemáticos absurdos cometidos em livros didáticos do Ensino Médio em territótio Nacional. Mas como tantas erros passaram na seleção de tais livros pelo MEC?

Por conta de erros desse tipo o conhecimento matemático implantado no Ensino Médio sofre, por diversas vezes,de preconeceito e em várias ocasiões é achatado de cima para baixo pelos profesores que, pressionados pelo baixo conhecimento matemático do aluno declaram palavras inflamadas e insensatas de desprezo e despojo por aqueles que usam ferramentas do Ensino Médio para realizar seus cálculos.

É cada vez mais notório as críticas ferrenhas que vem sofrendo os alunos do Ensino Superiror no que tange ao seus conhecimentos sobre matemática.Notas ruins, desespero, exagero em excesso de estudos, stress, pesadelos, depressão, baixa-estima são alguns dos vários males que acometem estudantes de matemática em todo o Brasil. Eplicitamente falando, o decaimentos das notas do Ensino Superior é o mais fantástico fenômeno que sempre existiu em todas as épocas da história dessa ciência e se não houver emprenho forçoso de mudanças continuará existindo. Vemos aqui mais que o decaimento dessa nobre ciência, vemos a anunciação de sua morte.

E mais  impressionante é como o Superior vem tratando esse assunto e o mais curioso: A primeira farpada que se ouve de um professor universitário são frases como "abandonem os cohecimentos do Ensino Médio", "alunos com cabecinha do Médio não vão passar em minha disciplina" ou então a mais vagamente expressa "esqueçam tudo o que viram no Ensino Médio" como se todo o conhecimento anterior do aluno não o servisse de nada. O mais incrível é que esses professores julgam mal o ensino que se vem dando ao Médio e nem se tocam que o que têm de fazer não são críticas em sala de aula para pobres alunos medianos, mas sim mudanças. Se ele acha que o Médio está ruim, o que, de fato, estão fazendo para mudar? Realmente é possível mudar o quadro apenas sentando em uma cadeira ou em laboratório com pesquisas e, em seguida, jogar todas suas frsutações do baixo conhecimento nesses alunos?

A matemática agoniza, clama por ajuda mas pouco se faz por ela. Há, ainda empenhos forçosos de uma educação matemática de qualidade como encontros periódicos nacionais, como o ENEM, dega-se de passagem o último aconteceu em Salvador-Ba, revistas de divulgação como o PROFESSOR DE MATEMÁTICA, CALCULANDO e outras. Entretanto falta a coragem de agir e mudar de vez por todas as bases do ensino a fim de proporcionar um de maior qualidade a os brasileiros. Para ser mais claro é preciso investimento pesado na educação básica, principalmente enfatizando o ensino fundamental I, que é onde ocorre a maior parte do que ficará na cabeça do aluno!

Com escolas e professores bem preparados desde o maternal e fundamental a tendência é de sempre haver alunos com formação mais adequada e de qualidade, mas o que acontece é justamente o contrário: existe pouquíssima preocupação no que tange a essa modalidade de ensino; professores de criânças ganham péssimo, suas escolas sempre são as que menos recebem recursos, são mais desvalorizadas e menos visadas socialmente. Investir nessa fase do ensino é preparar melhor e adequadamente o discente, sim, mais além é erguer um alicerce mais sólido para um país mais democrático e justo. VAMOS À LUTA BRASIL, VAMOS À MUDANÇA MATEMÁTICOS!

MATRIZES

MATRIZES

Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes, linha essa apenas modificada com o surgimento de Joseph Sylvester, primeiro a dar um nome ao novo ramo da matemática, mas coube a Cayley, amigo de Sylvester, não somente a prova, mas também a demonstração das utilidades das Matrizes em sua obra Memoir on the Theory of Matrizes em1858. 

  Com um estudo recente de apenas cerca de 150 anos as Matrizes ganharam tamanha importância que não se consegue conceber, hoje, a idéia computadores, engenharia civil, elétrica, mecânica, meteorologia, oceanografia entre outras inúmeras áreas sem o estudo delas. Na verdade seu estudo sistemático começou realmente com Cayley, mas antes dele já havia prósperas pesquisas no assunto, principalmente quando Lagrange utilizou Matrizes no estudo de máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis.

Nas escolas ainda se usam o estudo de Matrizes e Determinantes, não obstante esse estudo ainda está longe do ideal, que seria ver na prática as suas aplicações. Em parte o erro se deve a má preparação dos docentes, falta de subsídios na escola, investimentos em linhas de pesquisas Júnior e à carência peculiar de matemática. É fato e relevante também observar que muitos profissionais tentam, da melhor maneira possível os permitida, não apenas repassar o conhecimento, mas como também fazê-lo de uma maneira produtiva incentivando, assim, a novas produções e descobertas.

Aqui está apresentado, de maneira suscita as principais propriedades e regras matriciais de maneira lógica e objetiva com não raro rigor matemático. Além disso, há exemplos de cada uma de suas formalidades e subtítulos bem como, ao final, aplicações cotidianas do seu estudo.

DEFINIÇÃO

Uma matriz é um conjunto de linhas e colunas de elementos numéricos organizadas num retângulo e que possuem certas propriedades matemáticas bem definidas. Em outras palavras, é uma tabela de informações codificadas em números.

Seja a matriz dada abaixo

 

Os elementos matriciais de A podem ser generalizados como A_mxn = (a_ij), onde m e n é a ordem da matriz entre linhas e colunas respectivamente, i o número de linhas e j o número de colunas dos elementos dentro da matriz. Assim se quisermos o elemento da 5ª linha e 6º coluna, o escrevemos assim:

A_mxn = (a₅₆)

As matrizes são representadas matematicamente através de parênteses, como em (I), ou através de colchetes. Elas podem ser somadas, subtraídas e multiplicas, possuindo, assim, algumas propriedades. Se forem quadradas possuem duas diagonais, a Diagonal Principal, que parte da esquerda para direita e compreende os elementos do centro, e a Diagonal Secundária, que parte da direita para a esquerda e compreende os elementos do centro no sentido contrário, como a seguir:

SOMA DE MATRIZES

Duas ou mais Matrizes são somadas se, e somente se, suas ordens forem iguais, isto é, A_mxn + B_mxn.

Seja a soma das seguintes Matrizes A e B de ordem 2x3 abaixo:

 

Efetuamos o cálculo obtendo a Matriz C, soma entre os respectivos valores dos elementos de mesma linha e coluna de A e B, assim:

 

Exemplo 1. Encontre a matriz C soma das matrizes A e B abaixo:

 

Resolução

A + B = C 

Exemplo 2. Por absurdo tentemos somar a matriz A_3x2 com a matriz B_2x3, que segundo uma das propriedades da adição não é permitida, já que o número de elementos i e j das matrizes não são iguais. Temos:

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Por processo análogo ao anterior, obtemos a solução.

Exemplo 1. Encontre a matriz C diferença das matrizes A e B abaixo:

 

Resolução

A - B = C

A partir desse ponto podemos encontrar um tipo de matriz chamada de Matriz Oposta, o que nada mais é do que a troca dos sinais da Matriz B quando essa é negativa, isto é, um pequeno jogo de sinais, assim:

IGUALDADE ENTRE MATRIZES

Por processo semelhante também podemos igualar matrizes. Pegando o mesmo exemplo anterior, suponhamos que saibamos quem é a matriz A e C, mas não a matriz B. Podemos encontrar B da seguinte forma:

A - B = C

Como não sabemos quem é B, fazemos:

  Do mesmo modo como somamos e subtraímos, agora igualamos, sempre obedecendo às respectivas linhas e colunas dos elementos matriciais de A e B. Temos:

  Encontramos os elementos de B, e como esperado realmente obtivemos uma matriz B_2x2

 MATRIZ TRANSPOSTA

 Seja a matriz 

Dizemos que ela pode ser Transposta se seus elementos de linhas e colunas podem se deslocar para colunas e linhas respectivamente e representamos esse tipo de matriz por A^t, assim:

 

Notamos que a ordem também foi invertida sendo  

 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

 Uma matriz 

Só pode ser multiplicada por uma matriz B, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, ou o número de elementos da coluna de A for igual ao número de elementos da linha de B, isto é, se A_mxn e B_nxp, cujo produto será C_mxp.

Sejam as matizes do exemplo 2 da SOMA DE MATRIZES descrita anteriormente

O produto A.B gerará uma matriz C_3x3. Vejamos:

 Multiplicamos os elementos de mesma ordem da linha da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B e os somamos, assim:

 Podemos também igualar produtos entre matrizes, desde que obedecidas as propriedades iniciais dadas.

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR K

A mesma Matriz  pode ser multiplicada por um valor k qualquer, com k Є R . Seja a matriz A abaixo multiplicada por k, assim temos:

 Exemplo 1. Encontra a Matriz 2A abaixo:

PROPRIEDADES BÁSICAS DAS MATRIZES POR ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

(i)                 (A + B) + C = A + (B + C)

(ii)               A + 0 = A

(iii)             A + (-A) = 0

(iv)             A + B = B + A

(v)               k(A + B) = kA + Kb

(vi)             (k + s)A = kA + as

(vii)           1.A = A

(viii)         (ks)A = k(sA)

(ix)             0.A = 0

MATRIZ IDENTIDADE

Uma matriz é dita identidade, e representamos por I_n, se é quadrada e os elementos de sua Diagonal Principal são todos iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero como no exemplo a seguir:

 

Como a matriz é quadrada escrevemos apenas a notação I_n;

Exemplo 1. Achar a matriz Identidade I_3.

MATRIZ NULA

Dizemos que uma Matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero

 

MATRIZ INVERSA

Dizemos que uma Matriz A é inversa se existe outra Matriz B cujo produto é a Matriz Identidade, onde B = A^-1, assim:

A.B^-1 = I_n

A.A^-1 = I_n

MATRIZES QUADRADAS

Algumas Matrizes Quadradas importantes

MATRIZ DIAGONAL

Uma Matriz é dita diagonal se os elementos não-diagonais são todos iguais a zero, isto é;

 A matriz Identidade é um exemplo de Matriz Diagonal.

 MATRIZ TRIANGLAR

Uma Matriz é dita triangular se os elementos fora as Diagonal Principal são iguais a zero, podendo ser triangulares superiores, se os ditos elementos estiverem abaixo, ou inferiores, se os elementos estiverem acima. Veja:

 

MATRIZ FAIXA

Chama-se Matriz Faixa aquela que possui todos os elementos da vizinhança da Diagonal Principal iguais a zero, assim:

 MATRIZ SIMÉTRICA

Uma Matriz se diz simétrica se A^T = A, com A sendo quadrada. Da mesma forma dizemos que uma Matriz A é anti-simétrica se A^T = - A

Exemplo 1. Verifique se A é simétrica de B.

 

Sim a Matriz A é simétrica da Matriz B, pois as linhas de A formam as colunas de B, sendo, portanto, sua Transposta, A = A^T

Exemplo 2. Verifique se A é anti-simétrica de B.

Como no exemplo anterior, com B = - A, temos:

 

MATRIZES ORTOGONAIS

Uma matriz é ortogonal se, e somente se, for quadrada e invertível tipo A^-1 = A^T em que AA^T = A^TA = I. 

 

MATRIZES COMPLEXAS

Uma Matriz é dita Complexa se seus elementos são números complexos, tipo  

Este é um exemplo de Matriz Complexa.

Dentro das Matrizes Complexas temos:

*·      * As Hermitianas: Se A^H = A

*     *Anti-hermitianas: Se A^H = - A

         * Unitárias: Se A^H = A^-1 e suas linhas (colunas) formam um conjunto ortogonal de vetores ao produto interno de vetores complexos.

·         * Normais:  Uma Matriz quadrada é Normal se AA^H = A^HA

  

APLICAÇÕES DAS MATRIZES

Certamente o ramo mais prodigioso do campo das Matrizes é o computacional em que o uso de vetores e operações matriciais é indispensável, seja na elaboração e desenvolvimento de softwares às imagens geradas de filmes e fotos. Cada filme ou foto carrega uma quantidade incrível de pixels, que são calculadas por matrizes e que, por sua vez, são mais bem transportadas por matrizes linhas ou colunas (vetores). Para a obtenção de rotações em computação gráfica, às grandezas geradas por escalares e tensores na mecânica, nos circuitos elétricos e suas fiações e linhas bem como na distribuição de energia elétrica, nas comunicações, redes de transportes e etc. Não obstante elas também têm aplicabilidade na vida pratica, não sendo necessariamente apenas nas ciências aplicadas.

No artigo de Cristiani dos Santos Campos, (SANTOS, 2008, p.19-20), uma professora de Jandaia do Sul, Paraná, ela faz um comparativo entre os gastos calóricos com a alimentação intermediada por exercícios físicos. Baseando os dados numa pessoa de 60 kg de peso corporal em atividades físicas de tempo de 1 hora, montou uma tabela, como a que se segue:

 

Durante uma semana em acompanhamento de uma hora, teríamos

Das duas Matrizes é possível construir uma associação de Matrizes e determinar a quantidade de calorias gasta por dia por essa pessoa, assim:

Daí é possível concluir que seguindo a dieta de alimentação e exercícios físicos, na segunda – feira a pessoa gastará 552 calorias, na terça-feira, 890 calorias, na quarta-feira 1016 calorias, na quinta-feira 895 calorias e na sexta-feira 678 calorias.

Nesse mesmo estudo a Professora não só mostra as aplicações matriciais no cotidiano, mas como também insere a interdisciplinaridade uma vez que tal estudo foi embasado nos casos de diabetes.

Uma fácil aplicabilidade das Matrizes consiste no estudo das Equações Lineares. Considere um jornal de grande circulação nas cidades do interior nordestino do país. Dessas, tiremos cinco: Petrolina, Juazeiro, Sobradinho, Curaçá e Santa Maria. A tabela a seguir mostra à quantidade vendida desse jornal de segunda a sexta nessas cidades:

Vendas por dia da semana de Segunda a Sexta

 

Deseja-se saber o preço vendido em cada cidade, durante a semana de segunda a sexta, sabendo o jornal apurou R$ 100.000,00 durante a referida semana.

 As duas tabelas apresentadas podem ser escritas em forma de Matrizes. Aqui a Matriz Quantidade, representada por Q e a Matriz Preços, representada por P. Assim temos:

 Verificamos que o número de colunas de Q é o mesmo que o número de linhas de P, o que nos permite uma multiplicação, Q.P = F, onde F é a Matriz Faturamento. Fica:

Então em Petrolina e Juazeiro o Jornal custa R$ 1,58, em Sobradinho R$ 3,16 e em Santa Maria e Curaçá, R$ 4,08.