MATRIZES

MATRIZES

Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes, linha essa apenas modificada com o surgimento de Joseph Sylvester, primeiro a dar um nome ao novo ramo da matemática, mas coube a Cayley, amigo de Sylvester, não somente a prova, mas também a demonstração das utilidades das Matrizes em sua obra Memoir on the Theory of Matrizes em1858. 

  Com um estudo recente de apenas cerca de 150 anos as Matrizes ganharam tamanha importância que não se consegue conceber, hoje, a idéia computadores, engenharia civil, elétrica, mecânica, meteorologia, oceanografia entre outras inúmeras áreas sem o estudo delas. Na verdade seu estudo sistemático começou realmente com Cayley, mas antes dele já havia prósperas pesquisas no assunto, principalmente quando Lagrange utilizou Matrizes no estudo de máximos e mínimos de funções reais de várias variáveis.

Nas escolas ainda se usam o estudo de Matrizes e Determinantes, não obstante esse estudo ainda está longe do ideal, que seria ver na prática as suas aplicações. Em parte o erro se deve a má preparação dos docentes, falta de subsídios na escola, investimentos em linhas de pesquisas Júnior e à carência peculiar de matemática. É fato e relevante também observar que muitos profissionais tentam, da melhor maneira possível os permitida, não apenas repassar o conhecimento, mas como também fazê-lo de uma maneira produtiva incentivando, assim, a novas produções e descobertas.

Aqui está apresentado, de maneira suscita as principais propriedades e regras matriciais de maneira lógica e objetiva com não raro rigor matemático. Além disso, há exemplos de cada uma de suas formalidades e subtítulos bem como, ao final, aplicações cotidianas do seu estudo.

DEFINIÇÃO

Uma matriz é um conjunto de linhas e colunas de elementos numéricos organizadas num retângulo e que possuem certas propriedades matemáticas bem definidas. Em outras palavras, é uma tabela de informações codificadas em números.

Seja a matriz dada abaixo

 

Os elementos matriciais de A podem ser generalizados como A_mxn = (a_ij), onde m e n é a ordem da matriz entre linhas e colunas respectivamente, i o número de linhas e j o número de colunas dos elementos dentro da matriz. Assim se quisermos o elemento da 5ª linha e 6º coluna, o escrevemos assim:

A_mxn = (a₅₆)

As matrizes são representadas matematicamente através de parênteses, como em (I), ou através de colchetes. Elas podem ser somadas, subtraídas e multiplicas, possuindo, assim, algumas propriedades. Se forem quadradas possuem duas diagonais, a Diagonal Principal, que parte da esquerda para direita e compreende os elementos do centro, e a Diagonal Secundária, que parte da direita para a esquerda e compreende os elementos do centro no sentido contrário, como a seguir:

SOMA DE MATRIZES

Duas ou mais Matrizes são somadas se, e somente se, suas ordens forem iguais, isto é, A_mxn + B_mxn.

Seja a soma das seguintes Matrizes A e B de ordem 2x3 abaixo:

 

Efetuamos o cálculo obtendo a Matriz C, soma entre os respectivos valores dos elementos de mesma linha e coluna de A e B, assim:

 

Exemplo 1. Encontre a matriz C soma das matrizes A e B abaixo:

 

Resolução

A + B = C 

Exemplo 2. Por absurdo tentemos somar a matriz A_3x2 com a matriz B_2x3, que segundo uma das propriedades da adição não é permitida, já que o número de elementos i e j das matrizes não são iguais. Temos:

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Por processo análogo ao anterior, obtemos a solução.

Exemplo 1. Encontre a matriz C diferença das matrizes A e B abaixo:

 

Resolução

A - B = C

A partir desse ponto podemos encontrar um tipo de matriz chamada de Matriz Oposta, o que nada mais é do que a troca dos sinais da Matriz B quando essa é negativa, isto é, um pequeno jogo de sinais, assim:

IGUALDADE ENTRE MATRIZES

Por processo semelhante também podemos igualar matrizes. Pegando o mesmo exemplo anterior, suponhamos que saibamos quem é a matriz A e C, mas não a matriz B. Podemos encontrar B da seguinte forma:

A - B = C

Como não sabemos quem é B, fazemos:

  Do mesmo modo como somamos e subtraímos, agora igualamos, sempre obedecendo às respectivas linhas e colunas dos elementos matriciais de A e B. Temos:

  Encontramos os elementos de B, e como esperado realmente obtivemos uma matriz B_2x2

 MATRIZ TRANSPOSTA

 Seja a matriz 

Dizemos que ela pode ser Transposta se seus elementos de linhas e colunas podem se deslocar para colunas e linhas respectivamente e representamos esse tipo de matriz por A^t, assim:

 

Notamos que a ordem também foi invertida sendo  

 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

 Uma matriz 

Só pode ser multiplicada por uma matriz B, se e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, ou o número de elementos da coluna de A for igual ao número de elementos da linha de B, isto é, se A_mxn e B_nxp, cujo produto será C_mxp.

Sejam as matizes do exemplo 2 da SOMA DE MATRIZES descrita anteriormente

O produto A.B gerará uma matriz C_3x3. Vejamos:

 Multiplicamos os elementos de mesma ordem da linha da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B e os somamos, assim:

 Podemos também igualar produtos entre matrizes, desde que obedecidas as propriedades iniciais dadas.

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR K

A mesma Matriz  pode ser multiplicada por um valor k qualquer, com k Є R . Seja a matriz A abaixo multiplicada por k, assim temos:

 Exemplo 1. Encontra a Matriz 2A abaixo:

PROPRIEDADES BÁSICAS DAS MATRIZES POR ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

(i)                 (A + B) + C = A + (B + C)

(ii)               A + 0 = A

(iii)             A + (-A) = 0

(iv)             A + B = B + A

(v)               k(A + B) = kA + Kb

(vi)             (k + s)A = kA + as

(vii)           1.A = A

(viii)         (ks)A = k(sA)

(ix)             0.A = 0

MATRIZ IDENTIDADE

Uma matriz é dita identidade, e representamos por I_n, se é quadrada e os elementos de sua Diagonal Principal são todos iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero como no exemplo a seguir:

 

Como a matriz é quadrada escrevemos apenas a notação I_n;

Exemplo 1. Achar a matriz Identidade I_3.

MATRIZ NULA

Dizemos que uma Matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero

 

MATRIZ INVERSA

Dizemos que uma Matriz A é inversa se existe outra Matriz B cujo produto é a Matriz Identidade, onde B = A^-1, assim:

A.B^-1 = I_n

A.A^-1 = I_n

MATRIZES QUADRADAS

Algumas Matrizes Quadradas importantes

MATRIZ DIAGONAL

Uma Matriz é dita diagonal se os elementos não-diagonais são todos iguais a zero, isto é;

 A matriz Identidade é um exemplo de Matriz Diagonal.

 MATRIZ TRIANGLAR

Uma Matriz é dita triangular se os elementos fora as Diagonal Principal são iguais a zero, podendo ser triangulares superiores, se os ditos elementos estiverem abaixo, ou inferiores, se os elementos estiverem acima. Veja:

 

MATRIZ FAIXA

Chama-se Matriz Faixa aquela que possui todos os elementos da vizinhança da Diagonal Principal iguais a zero, assim:

 MATRIZ SIMÉTRICA

Uma Matriz se diz simétrica se A^T = A, com A sendo quadrada. Da mesma forma dizemos que uma Matriz A é anti-simétrica se A^T = - A

Exemplo 1. Verifique se A é simétrica de B.

 

Sim a Matriz A é simétrica da Matriz B, pois as linhas de A formam as colunas de B, sendo, portanto, sua Transposta, A = A^T

Exemplo 2. Verifique se A é anti-simétrica de B.

Como no exemplo anterior, com B = - A, temos:

 

MATRIZES ORTOGONAIS

Uma matriz é ortogonal se, e somente se, for quadrada e invertível tipo A^-1 = A^T em que AA^T = A^TA = I. 

 

MATRIZES COMPLEXAS

Uma Matriz é dita Complexa se seus elementos são números complexos, tipo  

Este é um exemplo de Matriz Complexa.

Dentro das Matrizes Complexas temos:

*·      * As Hermitianas: Se A^H = A

*     *Anti-hermitianas: Se A^H = - A

         * Unitárias: Se A^H = A^-1 e suas linhas (colunas) formam um conjunto ortogonal de vetores ao produto interno de vetores complexos.

·         * Normais:  Uma Matriz quadrada é Normal se AA^H = A^HA

  

APLICAÇÕES DAS MATRIZES

Certamente o ramo mais prodigioso do campo das Matrizes é o computacional em que o uso de vetores e operações matriciais é indispensável, seja na elaboração e desenvolvimento de softwares às imagens geradas de filmes e fotos. Cada filme ou foto carrega uma quantidade incrível de pixels, que são calculadas por matrizes e que, por sua vez, são mais bem transportadas por matrizes linhas ou colunas (vetores). Para a obtenção de rotações em computação gráfica, às grandezas geradas por escalares e tensores na mecânica, nos circuitos elétricos e suas fiações e linhas bem como na distribuição de energia elétrica, nas comunicações, redes de transportes e etc. Não obstante elas também têm aplicabilidade na vida pratica, não sendo necessariamente apenas nas ciências aplicadas.

No artigo de Cristiani dos Santos Campos, (SANTOS, 2008, p.19-20), uma professora de Jandaia do Sul, Paraná, ela faz um comparativo entre os gastos calóricos com a alimentação intermediada por exercícios físicos. Baseando os dados numa pessoa de 60 kg de peso corporal em atividades físicas de tempo de 1 hora, montou uma tabela, como a que se segue:

 

Durante uma semana em acompanhamento de uma hora, teríamos

Das duas Matrizes é possível construir uma associação de Matrizes e determinar a quantidade de calorias gasta por dia por essa pessoa, assim:

Daí é possível concluir que seguindo a dieta de alimentação e exercícios físicos, na segunda – feira a pessoa gastará 552 calorias, na terça-feira, 890 calorias, na quarta-feira 1016 calorias, na quinta-feira 895 calorias e na sexta-feira 678 calorias.

Nesse mesmo estudo a Professora não só mostra as aplicações matriciais no cotidiano, mas como também insere a interdisciplinaridade uma vez que tal estudo foi embasado nos casos de diabetes.

Uma fácil aplicabilidade das Matrizes consiste no estudo das Equações Lineares. Considere um jornal de grande circulação nas cidades do interior nordestino do país. Dessas, tiremos cinco: Petrolina, Juazeiro, Sobradinho, Curaçá e Santa Maria. A tabela a seguir mostra à quantidade vendida desse jornal de segunda a sexta nessas cidades:

Vendas por dia da semana de Segunda a Sexta

 

Deseja-se saber o preço vendido em cada cidade, durante a semana de segunda a sexta, sabendo o jornal apurou R$ 100.000,00 durante a referida semana.

 As duas tabelas apresentadas podem ser escritas em forma de Matrizes. Aqui a Matriz Quantidade, representada por Q e a Matriz Preços, representada por P. Assim temos:

 Verificamos que o número de colunas de Q é o mesmo que o número de linhas de P, o que nos permite uma multiplicação, Q.P = F, onde F é a Matriz Faturamento. Fica:

Então em Petrolina e Juazeiro o Jornal custa R$ 1,58, em Sobradinho R$ 3,16 e em Santa Maria e Curaçá, R$ 4,08.

A Geometria Não Euclidiana e as Barreiras da Matemática

Calculando o Infinito

A Integral

Ao longo dos séculos o homem sentiu necessidades imperiosas da obtenção do valor exato, ou pelo menos aproximado, de algumas áreas e/ou volumes de certas figuras geométricas com  contornos irregulares. Ele já sabia calcular áreas e volumes de figuras regulares, como cones, pirâmides, cubos, prismas, esferas entre outros, não obstante outros tipos de figuras continuavam sem esclarecimento.

Com a chegada de Isaac Newton e Leibniz essa história começou a ser contada de um novo capítulo, com a introdução do Cálculo Diferencial e Integral.

Aqui nos concentraremos em demosntrar a definição técnica da Integral não contendo, porém, os principais meios de resolução destas, que será mais bem tratado em outro artigo.

Basicamente esse cálculo consiste no estudo de uma dada função f(x) definida no intervalo [a, b], conforme figura a seguir:

A idéia é de obter a área da região hachurada da figura ao lado. 

Como pode ser observado uma parte da área, a de cor mais fraca, forma um retângulo que pode ser calculado através de (b - a)(f(a) - 0), contudo ainda resta a parte da área compreendida entre f(b) e f(a), com mesmo domínio fechado de [ax, b]. A parte de cor mais forte tem contornos irregulares que tornam seu cálculo muito complicado. Como então obter seu valor exato?

Dividindo-se o gráfico em pequenas partes é possível obter a área dessas pequenas partes divididas, assim:

É o somatório dos pequenos retângulos em escalas cada vez menores que definirá o valor da área final. É perceptível que quanto mais se quebre o gráfico em pequenos gráficos e o amplie, cada vez mais retângulos e áreas semehantas à de cor mais forte do primeiro gráfico vão se gerando, e assim até o infinito. Há um ramo dentro da matemática capaz de determinar valores que tendem ao infinito e é através do estudo de Limites.

Assim sendo podemos dizer que uma Integral é definida por:

Esta última notação da equação acima é como se escreve, matematicamente, uma integral, que significa literalmente somar partes, seja para áreas, volumes ou quaisquer cálculos que requeiram somatórios.

Bom como já visto é preciso que a função seja definida no irtevalo fechado [a, b] e que seja contínua. Uma vez tendo esses atributos o próximo passo é verificar que tipo de função se está usando e é aí que está o problema: Existem diversas maneiras de se trabalhar com integrais e cada uma deleas requer um tipo de especial de resolução ou estratégia.

TIPOS DE INTEGRAIS

Existem as Integrais Definidas, que são como essas estudadas anteriormente em que é preciso os valores dos limites do domínio ou da imagem da função, e também as Integrais Indefinidas, que não precisam de um intervalo fechado. Ora, essa última serve mesmo apenas de conhecimento teórico uma vez que sem um intervalo não é possível se calcular com precisão nada. Em exercícios é comum o uso desses tipos de Integrais, mas para o uso devido na vida prática é preciso a existência do intervalo.

Há ainda as Integrais resolvidas por Substituição, as Parciais, Polares, por Partes, entre outras. Estamos falando aqui dos tipos de resoluções dessa poderosa arma da matemática que será tratado em breve aqui.



CURIOSIDADE
PRATO DO DIA: PLANETA ASSADO

Plantas carnívoras, animais canibais, guerra por alimento. Tudo isso parece ser imensamente terráqueo, mas quem pensa que é só na Terra que há matanças está enganado.

A imagem abaixo ilustra o apetite voraz de uma estrela que rouba, a cada tempo que se passa, mais e mais gás de um planeta em sua órbita pois o dito cujo se trata de um corpo gasoso que só não é classificado como estrela por não possuir massa suficiente para as mesmas, mas que possui temperautra semelhante a o de uma pequena estrela fria.

Créditos da Imagem: (BARBOSA, Cássio, Jornal G1- Globo)

Com futuro bem perto das entranhas dessa estrela, o nosso planeta acima figurado tem seus dias contados até sua digestão. O interessante é que fatos como esse não são raros no Universo. Há diversos tipos de exemplos de não só estrelas engolindo planetas, mas também de estrelas engolindo estrelas, galáxias engolindo galáxias e até nmesmo aglomerados de galáxias inteiras sendo comidas por outras galáxias. Canibalismo até no espaço!

O Grande Enigma de Fermat: O Última Teorema

Um prêmio milionário oferecido para conquista, uma mulher disfarçada de homem com única forma de dar andamento aos seus trabalhos, as maiores mentes do planeta sendo enganadas facilmente sendo necessário a fusão das mais modernas técnicas e inteligência já inventada antes para um longo mistério que atravessou a barreira temporal de mais de 350 anos sem solução, e como artista principal de todo o enigma mais famoso da história da Matemática um homem tido amador: Estamos falando sobre o Último Teorema de Fermat, o maior e mais famoso mistério matemático dos últimos séculos sendo desvendado somente em 1994 por uma mente não menos prodigiosa que as demais, levando 7 anos da vida de um homem.  


  "Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro." (Aczel, 1997)

O Último Teorema, como é carinhosamente chamado o enigma proposto por Fermat, nasceu de uma  curiosidade deste ao manipular a bela equação pitagórica x² + y² = z². Encontrando fácil inúmeros valores como solução do problema, em um estalo de genialidade resolve mudar o expoente 2, para 3, na forma de x³ + y³ = z³ e o que encontra? Uma bela e misteriosa surpresa: Não percebeu nenhuma solução para o que acaba de criar, e mais, aumentando ainda o expoente n vezes fez crescer e nascer um enigma que perturbaria as maiores mentes matemáticas de todos os tempos.

Na margem do dito livro teria escrito:

"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente."  (Singh, 1998, p. 82)

ATÉ EULER CAIU
Leonard Euler é conhecido como um dos "Príncipes da Matemática" e junto com Gauss também não consegiu desvendar o problema. Encontrou solução para os casos em que n = 3, mas não obteve sucesso em uma generalização de n pertencente ao conjunto dos Números Naturais.  Euler é famoso por sua proezas nos campos da Análise, Cálculo, Álgebra, reiventou boa parte do linguajá matemático e criou Teorias e demonstrações de Teoremas dignos de nota, sem falar nos mais de 800 artigos que fazia por ano e que até hoje muitos deles ainda estão sendo publicados pela Universidade de São Petersburgo, local onde trabalhou por muito tempo. Argand Gauss, ou por frustação de não ter encontrado uma solução, ou mesmo por ser verdade, argumentou que não tinha interesse na demonstração da prova do problema e que portanto não a faria. Outros matemáticos em todo o mundo continuaram incansavelmente pela busca de uma demonstração, muitos foram os que colocaram em disponibilidade várias "soluções", mas todas não passavam quando eram submetidas a exames minunciosos e rigorosos.


O GRANDE ENIGMA RESOLVIDO
Somente após o nascimento de um gênio que o grande mistério pode ser resolvido.
Ao visitar a Biblioteca de sua cidade, um jovem inglês, ainda criança, se apaixounou por um livro que argumentava sobre uma dor de cabeça que perseguia os matemáticos em quase 4 séculos, e era o Teorema de Fermat. O que mais deixa picante o tal do problema é que o mesmo Fermat diz tê-lo resolvido, mas que pelo pouco espaço nas margens do livro onde fazia anotações não pode completá-lo e deixou para um mundo o desafio de quem também o provasse. O jovem curioso a essa hora de leitura já estava sabendo disso e naquele instante nascia a vontade de um homem.
Apenas mais tarde, já graduado, é que Andrew Wiles, trabalhando para a Universidade de Princeton, Estados Unidos, encontrou a solução para o mistrioso problemas que atravessara séculos.

O matemático levou 7 anos de sua vida, sendo que parte desses anos ainda teve que corrigir uma pequena falha nos argumentos, o que levou a uma correção de 200 páginas. Em 1994 estava resolvido e derootado um dos maiores desafios matemáticos do mundo por um até então sonhador que crescera, tornara-se matemático e um dos poucos a compor a pomposa galeria dos grandes matemáticos.