O Segredo Oculto dos Números Complexos

 

Você sabe qual é a raíz quadrada de -4? Essa aqui, mostrada abaixo?

Ora, quando perguntados qual a raíz quadrada de 4, todos responderiam que seria 2, porque 2 X 2 = 4. Mas o que acontece quando temos uma negativa, como a descrita acima? Veja:

Estranho, quando -2 é multiplicado por ele mesmo duas vezes, fazendo o jogo de sinais, ele fica positivo, diferenciando de -4, que seria o número que deveria dar.

É comum na 9º (nona) série do ensino fundamental (antiga 8º série) alunos se depararem com raízes de números negativos quando estão vendo equações de segundo grau. Geralmente quando chegam nessa parte, alguns professores evitam de se aprofundar no tema e simplesmente dizem a os alunos que não existe raíz de número negativo, e mais comum ainda dizerem apenas raíz, colocando até as raízes cúbicas em demais ímpares, o que é um erro crasso! 

Então, como calcular uma raíz negativa dessas?  Bom, primeiramente, antes de responder, é preciso conhecer alguns fatos importantes, pois este é um segredo oculto do Conjuntos dos Números Complexos, assunto abordado apenas no terceiro ano do ensino médio.

BEM VINDO A OS NÚMEROS COMPLEXOS

Ignorado por muitos séculos como sendo parte banal de alguns cálculos que exigiam raízes negativas, os matemáticos nem se quer perdiam tempo em analisar os famosos complexos, sutilmente apelidados de números fantasmas justamente por não fazerem "sentido". Somente mais tarde, com a pequena menção, mas sem explicações de um artigo publicado pelo matemático Cardano, é que apareceu os temidos e evitados  complexos. Contudo apenas com Raphael Bombelli, outro notável matemático é que não só teve a mesma coragem demonstrada por Cardano, mas também os explicitou introdutoriamente.

Para se ter uma idéia do que estamos falando, há relatos dos cujos números desde a Arithmetica de Diophanto a aproximadamente no ano de 275 D.C, no começo do primeiro milênio que mesmo assim também evitou de falar no assunto, ficando os Números Complexos à mercê da ignorância de tantos séculos e homens que negaram-se a ouvir os gritos de umas das mais importantes classes de números da humanidade. Mais tarde, num estudo das equações de terceiro grau é que praticamente a humanidade viu-se obrigada a admitir os complexos, finalmente reconhecidos. Agora podemos conhecer também esses temíveis números e saber por qual motivo os escondiam bastante.

O QUE É UM NÚMERO COMPLEXO?

Um número complexo é basicamente um conjunto, um corpo maior dos números, maior até mesmo que os conjunto dos números Reais, que praticamente abriga quase a totalidade dos mesmos.Segundo Gelson Iezzy, "chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação" (IEZZY, Gelson, pág. 2, 1998).

"Encara-se assim R como um subconjunto de C", afirma Lipschutz o que é confirmado pelas operações envolvidas nos processos de cálculos algébricos efetuados com esses números. Basicamente escrevemos um complexo algebricamente como Z = a + bi, ou por par ordenado como Z = (a, b) onde a é a parte real e b, a parte imaginária e Z o número complexo.

É perceptível que que a afirmativa de Lipschutz é verdadeira quando o valor de b é zero, pois fica somente a parte real, como o são a maior parte dos números com vemos.

Seja a = 2 e b = 0. Como escrevemos esse número, que é real, em complexo?

Ora,

Z = a + bi, então:

Z = 2 + 0.i

Z = 2

Quando isso ocorre dizemos que o dado número é um Real puro. Mas o que acontece quando b = 0?

Seja a = 0 e b =2

O processo é análago a o anterior

Z = a + bi

Z =  0 + 2i

Z = 2i

Agora dizemos que Z é um imaginário puro.

Quando há os dois valores, com a diferente de b e ambos diferentes de 0, o complexo está completo, assim:

Z = 2 + 2i, 

Que pode até ser a solução daquele probleminha de equação quadrática de delta negativo!

RESOLVENDO RAÍZ DE NÚMERO NEGATIVO 

A o longo dos séculos era impossível resolver esse tipo de equação:

x² + 2x + 2 = 0, porque o valor de delta é menor que 0.

Adequando os valores dos coeficientes e resolvendo a equação, temos:

 

Entretanto, com o advento dos complexos, permitiu-se, assim, que se prosseguisse a operação. Repare bem que - 4 é o mesmo que escrever - 4 = (- 1).4 . Como 4 tem raíz e é 2, extrai-se esse número e - 1 que "não tem" fica dentro da raíz. Convencionou-se chamar essa raíz de - 1 de i, e se colocarmos ele ao quadrado daria justamente um númewro real, donde:

Gerou-se duas raízes Complexas. O curioso é que não foi por causa das equações quadráticas que se empenharam em descobrir os complexos não, mas sim com as equações de terceiro grau!

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

Como qualquer número podemos somar, subtrair, multiplicar e até dividir números Complexos. 



* Adição

Propriedade:
Seja Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d). Z1 + Z2, fica:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), formando um par.


Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 = 7 + i. Determine Z1+ Z2.

Há duas formas de se calcular e uma delas é pelo seu par ordenado. Como vemos, um par ordenado se dá através da separação em parte real e imaginária. Z1 = (3, 4) e Z2 = (7, 1). Somando, fica:

Z1 + Z2 = (3 ,4) + (7, 1) = (3 + 7, 4 + 1) => (10, 5) completando o par ordenado. Também poderíamos fazer direto:

Z1 + Z2 = 3 + 7 + 4i + i => 10 + 5i

* Subtração 

Propriedade:

Seja Z1 = (a, b) e Z2 => (c, d). Z1 - Z2, fica:

(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d), formando um par.

Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 => 7 + i. Determine Z1- Z2.

Fica:

Z1- Z2 = (3 - 7, 4 - 1) => (- 4, 3) ou

Z1- Z2 = 3 - 7 + 4i - i => - 4 + 3i

* Multiplicação
Propriedade:

Seja Z1 = (a, b) e Z2 => (c, d). Z1. Z2, fica:

(a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc), formando um par.

Seja Z1 = 3 + 4i e Z2 => 7 + i. Determine Z1. Z2.

Fica:

Z1.Z2 = (3.7- 4i.i, 3i + 4i.7) => (21 -(- 4i²), 3i + 28i), como i² = - 1, obtemos:

 Z1.Z2 = (21 + 4, 31i) => (21-4, 31i), que resulta em:

Z1. Z2 = (17,  31i)

Essa forma que acabamos de explicitar é a forma ordenada. Também é possível encontrar o mesmo valor multiplicando pela forma algébrica, assim: 

Z1.Z2 = (3 + 4i).(7 + i)  

Z1.Z2 = 21 + 3i + 28i  + 4i²

Z1.Z2 =  21 - 4 + 31i

Z1.Z2 =  17 + 31i

* Divisão

Propriedades:

Seja Z = a + bi, há um conjugado de mesmo módulo mas de sinal de bi diferente. A esse chamamos de conjugado e se escreve assim:   −Z = a - bi. O conjugado serve principalmente para se efetuar e simplificar alguns números complexos.

Seja Z = 2 + i/3 + i. Determine os valores de a e b do complexo dado.

 Ora é visível que não dá para saber quem é a ou b porque eles estão misturados no numerador e denominador. Antes, porém, é preciso que se separe ele da maneira usual Z = a + bi, mas para fazer isso é preciso dividir, e para dividir é necessário multiplicá-lo pelo conjugado do número de baixo, assim:

Z = (2 + 3i)(3 - i)/(3 + i)(3-i). 

Efetuando a multiplicação, obtemos:

Z = 9 + 7i/10, portanto:

a = 9/7 e

b = 7i/10

Apelidado de Números Fantasmas durante muito tempo, os então hoje conhecidos Conjunto dos Números Complexos conheceram bem o peso do preconceito intelectual.



Forma Polar
 
Muitas vezes não podemos expressar determinados complexos por sua forma algébrica Z = a + bi. Ocorre em inúmeros casos onde Z assume valores com altos expoentes, ou porque é melhor para se aplicar em certas operações matemáticas, sendo mais fáceis de se lidar e manusear.


Podemos determinar como forma polar se ela pode ser escrita na forma Z = p(cosx + isenx), onde p (lê-se rô). p = √a² + b²

Obtemos-no-la através da seguinte demonstração: